2023广元广元中学高二下学期期中考试数学理科试题含解析

广元中学高2021级高二下期期中考试（理数）

时间：120分钟   满分150分 

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知函数在处取得极值，则（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意，即可求出参数的值；

【详解】解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件；

故选：B

2. 下列有关回归分析的说法中不正确的是（    ）

A. 回归直线必过点

B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

C. 当相关系数时，两个变量正相关

D. 如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于

【答案】B

【解析】

【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB；根据相关系数的性质可判断CD，进而可得正确选项.

【详解】对于A选项，回归直线必过点，A对；

对于B选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B错；

对于C选项，当相关系数时，两个变量正相关，C对；

对于D选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D对.

故选：B.

3. 已知函数，则（    ）

A. 2 B. 1 C. -1 D. -2

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数运算法则，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为，所以．所以，解得．

故选：A

4. 是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，进而得到的可能图象.

【详解】由的图象可得，

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增.

则仅有选项C符合以上要求.

故选：C

5. 执行如图所示的程序框图，为使输出s的值大于11，则输入的正整数n的最小值为（    ）

A. 1 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】依据程序框图的流程，算出每次执行的即可得解.

【详解】第一次执行程序后，，不满足输出条件，继续程序；

第二次执行程序后，，不满足输出条件，继续程序；

第三次执行程序后，，不满足输出条件，继续程序；

第四次执行程序后，，不满足输出条件，继续程序；

第五次执行程序后，，不满足输出条件，继续程序；

第六次执行程序后，，满足输出s值大于11；

显然，后续若继续执行程序，皆满足输出s的值大于11.

又，故判断框内为，则正整数的最小值为6.

故选：C

6. 已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X＜a)＝0.32，则P(a≤X＜4－a)等于(　　)

A. 0.32 B. 0.68 C. 0.36 D. 0.64

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.

【详解】∵a＋(4－a)＝2×2，∴在横轴上，a和4－a关于2对称，

如图，由正态曲线的对称性可得.

故选：C.

7. 若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围．

【详解】，

由于函数有三个单调区间，

∴有两个不相等的实数根，∴．

故选：C．

8. 有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4．同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式即可求得本题答案.

【详解】根据题意，同时抛掷两个玩具，朝下的面写有的数字有16种情况，

分别为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），

朝下的面的数字之积是3的倍数的结果有7种，

分别为（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），

则数字之积是3的倍数的概率为，

故选：D

9. 已知变量满足约束条件  则的最小值为(　　)

A. 11 B. 12 C. 8 D. 3

【答案】C

【解析】

【详解】画出不等式组表示的可行域如图所示，

由得，平移直线，

由图形可得，当直线经过可行域内的点A时，

直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．

由，解得，故点A的坐标为A(2, 2)．

∴．选C．

10. 若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（    ）

A. 360 B. 180 C. 90 D. 45

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，得出二项式的指数的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．

【详解】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n＝10，

通项公式为

当，即时为常数，此时

所以展开式的常数项是180

故选：B

11. 双曲线的左焦点为F1（－c,0），过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若，则双曲线的离心率为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】推导出点为线段的中点，由中位线的性质可得，由双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率.

【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，所以，，即，是的中点，

过点作直线与圆相切于点，，

是的中点，，

，，，

由双曲线的定义可得，，，，

因此，该双曲线的离心率为.

故选：B.

12. 已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线l与曲线相切，符合情况的切线l（  ）

A. 有3条 B. 有2条 C. 有1条 D. 不存在

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：，依题意，在上有解.当时，在上无解，不符合题意；

当时，符合题意，故.，

易得曲线在处的切线为.

假设该直线与相切，设切点为，即有，消去化简得，

令，则，令得，

得，所以在递减，在递增，

且时，，，，则，

所以，与矛盾，故不存在.

故选：D

【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考察直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用.求出的导数，由题意可知在上有解.讨论可得成立，求得切线方程，再假设切线与曲线相切，设出切点，利用切线的斜率相等构建方程，利用图象判断出切点不存在.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. ______．

【答案】##4i+7

【解析】

【分析】利用复数的乘法运算即可.

【详解】.

故答案为：.

14. 一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．

【答案】

【解析】

【分析】根据数学期望的知识求得正确答案.

【详解】依题意可知，平均预期可获利元.

故答案为：

15. 已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若，则M点的横坐标为______

【答案】2

【解析】

【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由抛物线的定义求得的坐标，得到中点的纵坐标，设直线为，代入抛物线的方程消去，利用根与系数的关系求得的值即可．

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

若，可得，

即有，

，

可得的中点的纵坐标为，

设，，，，

则，

若斜率不存在，不合题意，

所以过点F的直线l的斜率存在

故直线的方程设为，

代入抛物线的方程可得：

，

即有，

解得，

所以直线的方程为．

又的中点的纵坐标为，

所以点的横坐标为2．

故答案为：2．

16. 若函数有唯一零点，且，（为相邻整数），则的值为_________.

【答案】5

【解析】

【分析】令，，求导，分别判断函数变化趋势，将原函数有一个零点的问题，转化为，有唯一公切点，设为，求得，令，根据函数零点存在性定理，以及题中条件，即可得出结果.

【详解】令，，则，

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

所以；

令，，因为，所以显然恒成立，

所以函数在上单调递增；

又因为在上显然单调递增，即函数在上增速越来越快；

而显然减函数，即增速越来越慢；

又函数有唯一零点，所以函数，的图象有唯一一个交点，即只需，有唯一公切点，设为，

即，所以，

令，

则，，，

所以，

又因为(为相邻整数)，

所以，，因此.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点问题，涉及零点存在性定理，属于常考题型.

三、解答题（总共6个题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）若射线分别交直线和曲线于、两点（点不同于坐标原点），求.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线和曲线的极坐标方程；

（2）设点、的极坐标分别为、，求出、的值，即可得出，即可得解.

【小问1详解】

解：直线的直角坐标方程为，

根据转换为极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为，即，

根据转换为极坐标方程为.

【小问2详解】

解：设点、的极坐标分别为、，

射线与直线交于点，

故，

射线与曲线交于点，故，

故.

18. 某商店销售某种产品，为了解客户对该产品评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：

（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

（2）利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.

附表及公式：

其中，.

【答案】（1）有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据表中数据计算出的值，对比附表数据，然后作出判断；

（2）先根据分层抽样计算出男、女客户并对男女生进行标记，列出“从名学生中随机抽取名”的所有基本事件，分析满足“抽取的两名客户中至少有名女性”的基本事件，根据基本事件数之比求解出对应概率.

【小问1详解】

，

有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.

【小问2详解】

因为“效果较好”的男客户和女客户的人数之比为，即为，

所以抽取的名客户中，男生有名，记为，，，，

女生有名，记为，，

从这人中选取人的所有基本事件有：，，，，

，，，，，，，，

，，，共个.

其中至少一名女生的基本事件有：，，，，

，，，，，共9个.

所以，抽取的名客户中至少有名女性的概率为.

19. 已知函数，且．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）求函数在上的最大值与最小值．

【答案】（1）；   

（2）最大值为2，最小值为.

【解析】

【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；

（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【小问1详解】

因为，故，解得，

因为，所以，

则所求切线的斜率为，且，

故所求切线方程为，即；

【小问2详解】

因为，，所以，

令，得（舍去），

由，可得，函数单调递减，

由，可得，函数单调递增，

所以极小值为，又，，

所以的最大值为2，最小值为.

20. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）通过证明，得线面垂直；

（2）建立空间之间坐标系，利用法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值.

【详解】（1）在三棱柱中，

平面，

故四边形为矩形.

又分别为的中点，

，

又，

，

平面，平面

平面.

（2）由（1）知，

由平面，

平面.

如图建立空间直角坐称系.

由题意得，

，

设平面的法向量为，

，

，

令，则，

所以平面的法向量，

又平面的法向量为，

.

所以二面角的余弦值为.

【点睛】此题考查线面垂直的证明和求二面角的大小，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，利用向量的方法求解二面角的大小需要注意防止计算出错.属于中档题.

21. 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．

【答案】（1）.   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意可求得的值，即得答案.

（2）当直线斜率存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合化简可得参数的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点.

【小问1详解】

根据椭圆定义得，，即 ，

，故椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，

则由题意得，将，代入整理得：

（*），

将代入椭圆方程整理得，

需满足 ，则，

代入（*）式得：，

整理得，

当时，过B点，不合题意；

故，直线的方程为，

故此时过定点；

当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ，

不妨设，

由可得 ，解得，

此时方程为，也过定点，

综合上述，过定点.

【点睛】方法点睛：关于直线和圆锥曲线的位置关系涉及直线过定点的问题，一般方法是设出直线方程，并和圆锥曲线方程联立，应用根与系数的关系式结合条件表示出参数之间的关系，从而将直线看作直线系方程，分离参数即可求得定点，同时要注意直线斜率不存在的情况.

22. 已知函数 （a为常数， ）

（1）若 是函数 的一个极值点，求a的值；

（2）求证：当 时， 在 上是增函数；

（3）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求正实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）实数m的取值范围为 .

【解析】

【分析】（1）令 ，即可求a的值；

（2）求导，判断导函数的符号即可；

（3）由题意，即是求参数m，使得 在 内的最大值 .

【详解】 ，

（1）由已知，得 ， ，

；

（2）当 时， ， 欲使得  ，∵，

则有 ，

函数 是增函数， ，

故 在 上是增函数 ；

（3） 时，由（Ⅱ）知，

在 上的最大值为

于是问题等价于：对任意的，不等式 恒成立，

记 ，

则

当 时， 在区间 上递减，此时 ，

由于 ，时不可能使 恒成立，故必有

，

若 ，可知 在区间 上递减，在此区间上，

有 ，与 恒成立相矛盾，故 ，这时 ，

在 上递增，恒有 ，满足题设要求，

  即

实数m的取值范围为  ；

综上，a=2， .