2024全国一轮数学（基础版）第36讲 空间直角坐标系与空间向量课件PPT

这是一份2024全国一轮数学（基础版）第36讲 空间直角坐标系与空间向量课件PPT，共39页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，基础回归，a＝λb，p＝xa＋yb，p＝xa＋yb＋zc，一组基底，两个重要向量，常用结论，研题型·融会贯通等内容，欢迎下载使用。
1. (人A选必一P22练习1改)已知a＝(－3，2,5)，b＝(1,5，－1)，则3a－b＝__________________________, a·b＝______.　2. (人A选必一P22练习2)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则x的值为______.
【解析】 因为a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，所以3a－b＝(－9,6,15)－(1,5，－1)＝(－10,1,16)，a·b＝－3＋10－5＝2.
(－10,1,16)
3. (人A选必一P22练习3改)已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是(　 　)A. (0,0,3) B. (0,0,2) C. (0,0，－2) D. (0,0，－3)
1. 空间向量中的有关定理(1) 共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得____________.(2) 共面向量定理共面向量定理的向量表达式：__________________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．(3) 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间中任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________________，{a，b，c}叫做空间中的____________.
2. 空间向量的数量积
3. 空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
5. 空间位置关系的向量表示
用已知向量表示未知向量的解题策略：(1) 要结合图形，以图形为指导是解题的关键；(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义； (3) 三角形法则、向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
利用向量解决立体几何问题时，也可以将几何问题转化成向量问题，或通过建立空间直角坐标系利用向量的坐标进行求解，然后代入向量数量积公式进行相关计算和证明．
　(人A选必一P14练习2)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为______.(变式)
例3　(2022·江苏百校联考)已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图(1)．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接AC，AB，如图(2)．已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF.
证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为 零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．
例4　如图，已知四棱锥P －ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD. (例4)
【解答】 如图，取BC的中点O，连接PO，因为△PBC为等边三角形，所以PO⊥BC.(例4)
(1) 求证：PA⊥BD；
因为平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(2) 求证：平面PAD⊥平面PAB.
用向量证明垂直的方法：(1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂 直；(2) 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线；(3) 面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直．
1. 若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1，2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b等于(　 　)A. 5 B. －5 C. 7 D. －1
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【解析】 因为a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，两式相加得2a＝ (2，－4,0)，解得a＝(1，－2，0)，b＝(－3,1,2)，所以a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5.
2. 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(1，－2,2)，且ka－b与a＋b互相垂直，则k的值为(　 　)A. 2　 B. 8　 C. －1　 D. －6
3. 已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x的值为(　 　)A. －4 B. 1 C. 10 D. 11
4. 如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．(第4题)
(1) 求证：AE⊥BC；
(2) 求直线AE与DC所成角的余弦值．