2024全国一轮数学（基础版）第37讲 第1课时 线线角与线面角课件PPT

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1. (人A选必一P38练习1)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　 　)
2. (人A选必一P38练习2)已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　 　)
【解析】 如图，在PC上任取一点D，过点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．(第2题)
过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F.因为DO⊥平面APB，则DE⊥ PA，DF⊥PB，则△DEP≌△DFP，所以EP＝FP，所以△OEP≌△OFP，且点O在∠APB的平分线上．在Rt△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，则PD＝2.
3. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF与平面D1B1BD夹角的余弦值为(　 　)(第3题)
【解析】 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，连接AC.(第3题)
4. (人A选必一P35练习2(1)改)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　 　)(第4题)
5. (人A选必一P35练习2(3) 改)若正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　 　)
1. 两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量，则
2. 直线与平面所成角的求法
3. 平面与平面的夹角的求法如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角(人教A版教材中的定义)．
4. 点P到直线 l 的距离
5. 点面距的求法(1) 定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度；(2) 等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP－ABC＝VA－PBC.
6. 常用结论(1) 线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|.
第1课时　线线角与线面角
【解析】 方法一：如图(1)，设E为BC的中点，连接AE，FE.(例1(1))因为E是BC的中点，所以FE∥BM，异面直线MB与AF所成的角为∠AFE.
【解答】 连接CO，因为BC＝CD，O为BD的中点，所以CO⊥BD.以OB， OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(1，0,0)，C(0,2,0)，D(－1,0,0)，
由题意知DC⊥PD且PD∩DM＝D，所以DC⊥平面PDM，而PM⊂平面PDM，所以DC⊥PM.又AB∥DC，所以AB⊥PM.
(1) 求证：AB⊥PM；
【解答】 方法一(向量法)：由PM⊥MD，AB⊥PM，而AB与DM相交，可知PM⊥平面ABCD.
(2) 求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
方法二：如图(2)，连接AC交DM于点E，过E作EF∥AN交PC于点F.过点F作FH∥CD，交PD于点H，连接HE.　　 　　　 　(例2(2))由(1)知CD⊥平面PDM，所以FH⊥平面PDM，故∠FEH是直线AN与平面PDM所成的角．
利用向量法求线面角的方法：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．(变式)
【解答】 如图，连接BD，与AC交于点O，连接EO.(变式)因为底面ABCD是菱形，所以O是BD的中点．因为E为DD1的中点，所以EO∥BD1.因为EO⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
(1) 求证：BD1∥平面ACE；
【解答】 如图，取AD的中点H，连接A1H，CH，所以A1H⊥平面ABCD，CH⊥AD，以H为原点，HC所在的直线为x轴，HD所在的直线为y轴，HA1所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(变式)
(2) 求直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．
1. (2022·沈阳二模)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，则PC与底面ABCD所成角的正切值为(　 　)
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2. 在三棱锥P－ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(　 　)
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0，3,0)，
备选　在三棱锥P －ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，若AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　 　)