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2024全国一轮数学（基础版）第54讲 正态分布课件PPT
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这是一份2024全国一轮数学（基础版）第54讲 正态分布课件PPT，共33页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，fx＝，第2题，45%，基础回归，X～Nμσ2，x＝μ，研题型·融会贯通，举题说法等内容，欢迎下载使用。
1. (人A 选必三P87练习1)设随机变量X～N(0,1)，则X的密度函数为_________ ____________，P(X≤0)＝_________，P(|X|≤1)≈________________，P(X>1)≈ ________________. (精确到0.000 1)
2. (人A 选必三P87练习2)设随机变量X～N(0,22)，随机变量Y～N(0,32)，则P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是____________________.
【解析】 如图，X～N(0,22)，Y～N(0,32)的正态密度曲线都关于y轴对称，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1)．因为σ越大，曲线越扁平，所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)．
P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)
3. (人A 选必三P87习题2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，现随机选择一名本市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝__________________.
【解析】 由题可得，身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
4. (人A 选必三P87习题3)若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是________________.
5. (人A 选必三P87习题4)袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为________________.
【解析】 设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%.
3. 3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则 (1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.4. 正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝_______________.5. 常用结论若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.
A. μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B. μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C. μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D. μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C. 函数F(t)＝P(X>t)在R上单调递增D. P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)
【解析】 由正态密度曲线的性质得X，Y的正态密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称．对于A，由图象得μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，故B不正确；对于C，由图象得，当t>μ时，函数F(t)＝P(X>t)在(t，＋∞)上单调递减，故C不正确； 对于D，根据3σ原则，无论σ 取何值时，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.954 5，故D正确．
【解析】 因为ξ～N(105，σ2)，且P(ξ<120)＝0.75，所以P(105≤ξ≤120)＝0.25，所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.
例2 在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝__________.
解决正态分布问题有三个关键点：(1) 正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2) 标准差σ；(3) 分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下正态密度曲线的对称轴才为x＝0.
【解析】 由题意知P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)3＝0.657，解得p＝0.3，则P(04)＝P(Y<0)＝0.5－P(04)等于( )A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
2. (2022·烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为____________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人. (若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.96)
例3 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.(1) 求μ与σ.
(2) 假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E(4X＋3)；附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86,95,103,109,118.以原设备生产性能为标准，试问：这台设备是否需要进一步调试？请说明理由．参考数据：0.997 34≈0.99.
在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示．
(1) 求这4 000名学生的竞赛平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3) 如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)
1. 当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态密度曲线N(0，σ2)的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )(第1题)A. σ1<σ2<σ3 B. σ1<σ3<σ2 C. σ2<σ1<σ3 D. σ3<σ2<σ1
点击对应数字即可跳转到对应题目
大致作出X和Y的正态密度曲线如图所示，由图可知在y轴左侧，Y的正态密度曲线总在X的正态密度曲线的下方，Y的正态密度曲线下方的区域面积总小于X的正态密度曲线下方的区域面积，即P(XP(Y
1. (人A 选必三P87练习1)设随机变量X～N(0,1)，则X的密度函数为_________ ____________，P(X≤0)＝_________，P(|X|≤1)≈________________，P(X>1)≈ ________________. (精确到0.000 1)
2. (人A 选必三P87练习2)设随机变量X～N(0,22)，随机变量Y～N(0,32)，则P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是____________________.
【解析】 如图，X～N(0,22)，Y～N(0,32)的正态密度曲线都关于y轴对称，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1)．因为σ越大，曲线越扁平，所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)．
P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)
3. (人A 选必三P87习题2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，现随机选择一名本市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝__________________.
【解析】 由题可得，身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
4. (人A 选必三P87习题3)若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是________________.
5. (人A 选必三P87习题4)袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为________________.
【解析】 设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%.
3. 3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则 (1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.4. 正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝_______________.5. 常用结论若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.
A. μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B. μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C. μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D. μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C. 函数F(t)＝P(X>t)在R上单调递增D. P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)
【解析】 由正态密度曲线的性质得X，Y的正态密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称．对于A，由图象得μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)
【解析】 因为ξ～N(105，σ2)，且P(ξ<120)＝0.75，所以P(105≤ξ≤120)＝0.25，所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.
例2 在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝__________.
解决正态分布问题有三个关键点：(1) 正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2) 标准差σ；(3) 分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下正态密度曲线的对称轴才为x＝0.
【解析】 由题意知P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)3＝0.657，解得p＝0.3，则P(0
2. (2022·烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为____________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人. (若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.96)
例3 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.(1) 求μ与σ.
(2) 假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E(4X＋3)；附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86,95,103,109,118.以原设备生产性能为标准，试问：这台设备是否需要进一步调试？请说明理由．参考数据：0.997 34≈0.99.
在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示．
(1) 求这4 000名学生的竞赛平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3) 如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)
1. 当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态密度曲线N(0，σ2)的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )(第1题)A. σ1<σ2<σ3 B. σ1<σ3<σ2 C. σ2<σ1<σ3 D. σ3<σ2<σ1
点击对应数字即可跳转到对应题目
大致作出X和Y的正态密度曲线如图所示，由图可知在y轴左侧，Y的正态密度曲线总在X的正态密度曲线的下方，Y的正态密度曲线下方的区域面积总小于X的正态密度曲线下方的区域面积，即P(X
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