2024全国一轮数学（基础版）微专题2 抽象函数性质的应用课件PPT

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【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)＝xf(x)为定义在R上的偶函数．
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为增函数，所以f(x)在R上为增函数．又因为f(－1)＝－2，所以f(1)＝2，故f(2x－3)≤2＝f(1)，即2x－3≤1，解得x≤2.
(1) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是______________.
A. (－3,1) B. (－3，－1)∪(－1,1)C. (－∞，－1)∪(－1,1) D. (－∞，－3)∪(1，＋∞)
因为x1－x2>0，x1x2>0，所以x1f(x1)－x2f(x2)<0，即x1f(x1)4＝2f(2)＝g(2)，则04＝g(－2)，则－2【解析】 因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数．令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.
A. －3 B. －2 C. 0 D. 1
因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.
【解析】 由题设，f(x)是周期为4的奇函数，且f(1)＝2，则f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)＝－f(2)，即f(2)＝0，f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝－f(1)＝－2，f(0)＝f(0＋4)＝f(4)＝0，所以f(1)＝f(1)＋f(2)＝2，f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，当n＝4k或n＝4k＋3，k∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝0；当n＝4k＋1或n＝4k＋2，k∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝2.
(2022·邯郸二模)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x＋4)＝f(x)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)(n∈N*)的值可能为(　　)A. －2 B. 0 C. 2 D. 4
【解析】 因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)．因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)．因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.
A. －21 B. －22 C. －23 D. －24
因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝ －3.因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3,6)中心对称．因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6.因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1，
【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(1－x)＝－f(x－1)．因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以－f(x－1)＝f(x＋1)，从而f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
(1) 已知f(x)是R上的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　)A. －50　B. 0　 C. 2　 D. 50
【解析】 因为对任意x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)＋9f(2)，令x＝－1, 得f(2)＝f(2)＋9f(2)，解得f(2)＝0，则f(x＋3)＝f(1－x)，即f(x＋4)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又函数f(x＋9)的图象关于点(－9,0)中心对称，则函数f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，即函数f(x)为奇函数，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以8是函数f(x)的一个周期，所以f(45)＝f(6×8－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1)＝－2 024.
(2) (2022·肥城适应性训练)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)＋9f(2)对任意x∈R恒成立，若函数f(x＋9)的图象关于点(－9,0)中心对称，且f(1)＝2 024, 则f(45)等于(　　)A. 2 023 B. －2 023 C. 2 024 D. －2 024
3. 周期的结论：(1) 如果函数f(x)的图象有两条对称轴，则f(x)一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍．(2) 如果函数f(x)的图象有一条对称轴，一个对称中心，则f(x)一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍．(3) 如果函数f(x)的图象有在同一水平线上的两个对称中心，则f(x)一定是周期函数，周期为两个对称中心之间距离的2倍．注：第8讲，第12讲亦有相关结论．