湖南省部分名校2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试卷（含答案）

湖南省部分名校2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、如图，在正方体中，E在线段上运动，则下列直线与平面的夹角为定值的是(   )

A. B. C. D.

3、若需要刻画预报变量w和解释变量x的相关关系，且从已知数据中知道预报变量w随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预报变量w大致趋于一个确定的值，为拟合w和x之间的关系，应使用以下回归方程中的（，e为自然对数的底数）(   )

A. B. C. D.

4、有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为(   )

A. B. C. D.

5、已知，都是锐角，且，，则，满足的关系是(   )

A. B. C. D.

6、挪威画家爱德华·蒙克于1893年创作的《呐喊》是表现主义绘画的代表作品，刻画了一个极其痛苦的表情.画作局部如下图所示，人像的脸近似为一个椭圆，下巴近似为一个圆，圆心O在椭圆的下焦点上，椭圆与圆有两个交点A，B，椭圆的两焦点与圆的圆心在同一直线上，记椭圆的中心为Q.连接直线QB，OB，OQ，经测量发现BQ与圆O相切，圆的半径为，.记该椭圆的离心率为e，为不超过x的最大整数，则的值为(   )

A.2 B.4 C.6 D.8

7、正八边形ABCDEFGH上存在一动点P（点P与A，C不重合），已知正八边形边长为2，则的最大值为(   )

A. B. C. D.

8、设函数，是公差为的等差数列，，则(   )

A.0 B. C. D.

二、多项选择题

9、投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是(   )

A.第25百分位数为2，极差为4 B.平均数为3.5，第75百分位数为3.5

C.平均数为3，方差为3 D.众数为4，平均数为4.75

10、已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则(   )

A.  B.在定义域上单调递增

C.的导函数 D.

11、已知，e是自然对数的底数，则(   )

A. B. C. D.

12、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图，若用棱长为4的正四面体ABCD作勒洛四面体，则(   )

A.平面ABC截勒洛四面体所得截面的面积为

B.记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧，则其长度为

C.该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D.该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

三、填空题

13、设i是虚数单位，已知是关于x的方程的一个根，则________.

14、平面直角坐标系中有线段AB，对应直观图上的线段是，若，则AB的斜率为________.

15、已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）.设点H，G分别为，的内心，则的取值范围是________.

16、设，若对于任意正实数b，函数的图象与曲线都有交点，则a的最小值为________.

四、解答题

17、为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，.

（1）求的值；

（2）若测得，求待测径长AB.

18、已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由.

19、如图，四棱锥内，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，.过P的直线l交平面ABCD于正方形ABCD内的点M，且满足平面平面PBM.

（1）当时，求点M的轨迹长度；

（2）当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值.

20、一部电视连续剧共有集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n集电视剧随机分配在2n天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集.已知这部电视剧最精彩的部分在第n集，设该同学观看第一集后的第X天观看该集.

（1）求X的分布列；

（2）证明：最有可能在第天观看最精彩的第n集.

21、已知抛物线：，：相交于点，在第一象限内一点P处的切线l交于A，B两点，交x轴于点M，在A，B处的切线交于点D.

（1）证明：当面积最小时，P为AB中点；

（2）过P作l的垂线交于另一点Q，连接MQ交于另一点R，当面积最小时，求点M的坐标.

22、已知函数，是的导函数.

（1）判断是否为的极值点，并说明理由；

（2）若，为最小的零点，证明：当时，.

参考答案

1、答案：A

解析：由子集的定义得出集合A，再由集合的交集运算可得答案.

因为集合，，

所以，所以，

故选:A.

2、答案：B

解析：

3、答案：D

解析：对于:因为在定义域内单调递增且，所以w随着x的增大而增大，不合题意，故A错误；

对于B:因为在定义域内单调递增且，所以w随着x的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误;

对于C:因为在定义域内单调递增且，所以w随着x的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误;

对于D:因为在定义域内单调递减且，所以w随着x的增大而减小，当解释变量，，故D错误；

故选:D.

4、答案：C

解析：如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为，沙漏下半部分的圆柱高度为，圆锥高度为，上、下底面半径为r，

则，又沙漏总高度为，则，所以，即，解得，所以初始状态的沙子高度为.故选:C.

5、答案：C

解析：因为，则，所以，，因为，都是锐角，由题意可得，所以，，

所以，，

因为，都是锐角，则且，则，

所以，，因此，.故选:C.

6、答案：B

解析：如图建立平面直角坐标系，

连接OB，依题意，，且

所以，所以

设椭圆方程为，，则，

又，所以

，所以，

则，解得

所以，

所以离心率，所以，

则.

故选：B

7、答案：D

解析：如图，建立平面直角坐标系，则，，

，所以，.由，结合平面向量数量积的几何意义可知，当点P运动到点D时，取得最大值，最大值为.

8、答案：D

解析：，.

数列是公差为的等差数列，，，且的结果不含，，，

9、答案：BD

解析：不妨设

则对于A，这8个数可以是1，2，2，2，3，3，4，5

故不一定出现点数6，故A错误.

对于B，因为平均数为3.5，所以

又第75百分位数为3.5，所以，所以，

所以，且，

所以，所以.

所以一定出现点数6，故B正确.

对于C，这8个数可以是1，1，1，3，3，5，5，5

，故不一定出现点数6，故C错误.

，

对于D，因为平均数为4.75，所以

又众数为4，假设这8个数没有6点，则和最大的情况为，和题设矛盾，故一定出现点数6.故D正确.故选:BD.

10、答案：BD

解析：由，得

由于函数和分别为奇函数和偶函数，

所以，

因此，，

对于A，，故A错误，对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，对于C，

，当且仅当时取等号，

而且，所以C错误，

对于D，

，当且仅当时取等号，所以D正确.

故选:BD.

11、答案：BC

解析：

12、答案：AD

解析：

13、答案：38

解析：

14、答案：0或

解析：

15、答案：

解析：设，，上的切点分别为M，N，E，

如图所示，

则点H，E的横坐标相等，根据切线长定理得

，，

因为，即

所以，即

设点H的横坐标为，则点，

则，即，

设直线AB的倾斜角为，则，

，

在中，

16、答案：

解析：

17、答案：（1）

（2）

解析：(1)在中，由正弦定理可得:

则，因为，因为为钝角，所以，所以

（2）在，由余弦定理可得：

解得:或(舍去)，

因为，所以，

在，

由余弦定理可得：

解得：，

，，，，

在，由余弦定理可得：

故.

18、答案：（1）

（2）理由见解析

解析：（1）由于，向前写一项并相除得，从而，累加可得时.

又当时亦符合该通项，因此的通项公式为，.

（2）设，数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数.所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现.

（i）考察奇数项，令，解得，所以有，

这表明数列的最小项为.

（ii）考察偶数项，令，解得，所以有，

这表明数列的最大项为.

综上所述，存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）作交PM于N.

因为平面平面PBM，且平面平面，所以平面PAM.

又因为平面PAM，所以.

因为平面ABCD，且平面ABCD，所以.

因为，，PB、平面PBM，，所以平面PBM.

又因为平面PBM，所以.

因此，M的轨迹为圆弧，其长度为.

（2）

20、答案：（1）答案见解析

（2）证明见解析

解析：（1）要在第一集后的第天中观看后n集电视剧，考虑第n集在时的概率则在天要看集，在天要看1集

，

，且

故X的分布列是

（2）记，，要求中的最大项

考虑

由于，

，

即时，有

同理可得时，有.

中的最大项为，即最有可能在第天观看第n集.

21、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）将代入，，

：，：

设，，处切线：

设，

，

AD：，BD：

，即

：

，点D到AB距离

令，，所以最小时，

而P为AB中点

当面积最小时，P为AB中点.

（2），即，

，PQ与x轴交点

联立

，

MQ：

联立

则

令，

所以当最小时，，故

22、答案：（1）理由见解析

（2）证明见解析

解析：（1）当时，无意义；

当时，

若不是极值点；

若，故不是极值点.

综上所述，不是极值点.

（2）时，，，

要证：时，，

由于，.

.

令，，.

则存在，使得在上单调增，上单调减，且.

故.只要证：

记，只需证：.

由于，，当时，.

则在上单调减，于是只需证：.

由，得证！