高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——离散型随机变量，均值与方差

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第47讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差1．随机变量的有关概念随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质（1）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.…………有时也用等式表示X的分布列．（2）离散型随机变量的分布列的性质①(i＝1，2，…，n)；②．3．必记结论（1）随机变量的线性关系若是随机变量，，是常数，则Y也是随机变量．（2）分布列性质的两个作用①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量的分布列为：…………（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．5．均值与方差的性质若，其中为常数，则也是随机变量，且；6．二项分布的期望、方差：若，则,.【题型一：离散型随机变量分布列】1．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.10.3若随机变量，则等于（    ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.72．（全国高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（    ）A． B．C．[－3，3] D．[0，1]3．（全国高二课时练习）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且，则的值为（    ）A． B． C．110 D．554．（全国）袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则ξ所有可能取值的个数是（    ）A．25 B．10 C．15 D．95．（全国）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“”表示试验的结果为（    ）A．第一枚为5点，第二枚为1点B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为4点，第二枚为1点6．（全国）若为非负实数，随机变量的分布列为012则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．27．（全国高二单元测试）设离散型随机变量的分布列为：123则的充要条件是（    ）A． B． C． D．8．（河南高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（    ） A． B． C． D．9．（黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知随机变量的概率分布如下：12345678910则（    ）A． B． C． D．10．（全国）已知随机变量的分布列如表所示.0123若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【题型二：离散型随机变量的均值和方差】1．（全国高二单元测试）已知离散型随机变量的分布列为123则的数学期望（    ）A． B．2 C． D．32．（全国高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（    ）A． B． C． D．3．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．（全国高二课时练习）设随机变量的方差，则的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．55．（全国高二课时练习）已知随机变量的分布列为，.则等于（    ）A．6 B．9C．3 D．46．（全国高二课时练习）已知随机变量满足，则＝（    ）A．6 B．8C．18 D．207．（天津市蓟州区擂鼓台中学）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?  8．（四川南充·（理））随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.（1）求的分布列；（2）求和. 9．（福建省永春第二中学高二期末）设随机变量具有分布列：12345求这个随机变量的与     10．（浙江丽水·高二课时练习）为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．     11．（浙江丽水·高二课时练习）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89100．40．40．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．   12．（甘肃城关·兰州一中高三月考（理））现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.