高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——正态分布

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第48讲 正态分布1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数，其中实数()为参数，我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值；④曲线与轴之间的面积为1；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：　甲　　　　　　　　　　　乙2．正态分布一般地，如果对于任何实数()，随机变量满足则称随机变量服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值①②③4．原则通常服从正态分布的随机变量只取之间的值．1．（全国高二学业考试）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）附：若，则，.A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413【答案】B【详解】解：∵函数没有零点，即方程无实根，∴，∴，又∵没有零点的概率是0.5，∴，由正态曲线的对称性知，∴，∴，，∴，，，，∴，，∴.故选：B.2．（全国高二单元测试）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（    ）（注：若随机变量服从正态分布，则，）A．31.7% B．27.18%C．13. 55% D．4.5%【答案】C【详解】，.故选：C.3．（全国高二课时练习）某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．，有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97，103]内，工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修，则尺寸为103.2的螺栓在8个之中，所以质检员认为设备需检修的概率为.故选：B4．（全国高二课时练习）已知随机变量X服从正态分布即，且P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X～N(5,1)，则P(X＞6)≈（    ）A．0.341 3 B．0.317 4C．0.158 7 D．0.158 6【答案】C【详解】由题设P(4＜X≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P(X≥6)＝[1－P(4＜X≤6)]≈(1－0.682 6)≈0.158 7.故选：C5．（全国高二课时练习）随机变量服从正态分布N(1,4)，若，则 (    )A． B． C． D．【答案】B【详解】因为随机变量服从正态分布N(1，4)，所以正态曲线关于对称，因为，所以，因为，，，所以，故选：B.6．（全国高二课时练习）已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为(    )A．1 B．2 C．3  D．4【答案】A【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且，由，可知.故选：A.7．（全国高二课时练习）某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是（    ）A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同【答案】A【详解】不妨设成绩服从正态分布，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，为正态曲线的对称轴，且为平均数，由题干所给图像可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，故A正确，BCD错误.故选：A.8．（山东广饶一中高三月考）设随机变量，已知，则（    ）A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425【答案】A【详解】.故选：A.9．（全国高二单元测试）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是（　　）A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)C．若t<0，则P(X≤t)≤P(Y≤t)D．若t<0，则P(X≥t)≤P(Y≥t)【答案】D【详解】由正态分布密度曲线图象的对称性知，μ1<0<μ2，由图象形状可得σ1>σ2>0，如图， 观察图象得：P(Y≤μ1)≤P(Y≤μ2)，A不正确；P(X≥σ1)≤P(X≥σ2)，B不正确；由正态分布在区间上的概率的几何意义知：若t<0，则P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C不正确，D正确.故选：D10．（河南高二期末（理））某袋装加碘食盐的质量（单位：克）服从正态分布，某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐袋，则质量在内的袋数约为（    ）附：若，则，．A． B． C． D．【答案】A【详解】因，则有，，，，于是得质量在内的概率为：，则有，所以质量在内的袋数约为.故选：A11．（济南市历城第二中学高三开学考试）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：年份20162017201820192020年份代码（）12345新建社区养老机构（）1215202528（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？参考公式：线性回归方程，，.参考数据：，【答案】（1）；（2）人．【详解】（1）由题意知，，，， 所以，，故所求经验回归方程为；（2）由题可知，该地参与社区养老的老人有（人） 该地参与社区养老的老人约有人.12．（全国高二课时练习）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？（2）若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？附正态分布3σ概率表：
P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3【答案】（1）527人；（2）84人．【详解】（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)]＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，12÷0.022 75≈527(人)．因此，此次参赛学生的总数约为527人．（2）由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60<X<80)]＝[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，527×0.158 65≈84(人)．因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人．13．（全国高二课时练习）已知随机变量，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且.(1)求参数，的值．(2)求．附：若，则，.【答案】(1)，；(2)0.1359.【详解】(1)因为正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且正态曲线关于对称，所以正态曲线关于直线对称，即，因为，所以，，解得，；(2)因为正态曲线关于对称，所以，因为，所以，故，又，所以，故.14．（重庆市第七中学校高三月考）为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别频数22504502908（1）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布．若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（2）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为．求的分布列与数学期望．附：若，则，，．【答案】（1）1482;（2）分布列为见解析，数学期望为.【详解】（1）由题意得：，根据正态分布的公式得到：，再乘以总数得到结果0.0228×65000=1482.估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上（2）Y的可能取值为0，1，2，3.；；；.Y的分布列为：Y0123P所以，Y的数学期望为：.15．（黑龙江哈尔滨三中高二月考）某精密仪器生产车间每天生产（充分大，且）个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度（单位：）服从正态分布，且相互独立.若满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格.（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；附：若随机变量服从正态分布，则，，.（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件？试说明理由.【答案】（1）0.006，；（2）需要，理由见解析.【详解】（1）由于车间每天生产的零件很多，小张随机抽取50个零件可视为有放回地抽取，各次试验之间的结果是独立的.又，，所以，因此.，故.（2）由题意可知不合格率为.若不再检查其余所有零件，则损失的期望为；若检查其余所有零件，总检查成本为，由于，当充分大时，，所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件.