2023届高三全国各地试题精选03 复数

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2023届高三全国各地试题精选03 复数 一、多选题1．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）设，是复数，则下列命题中正确的是（    ）A．若是纯虚数，则B．若，则C．若，则D．若复数满足，则的最大值为2．（2023·江苏盐城·校考三模）关于复数、，下列说法正确的是（    ）A． B．若，C．若，则 D．3．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）下列说法正确的是（    ）A．设是非零向量，且，则B．若为复数，则C．设是非零向量，若，则D．设为复数，若.，则4．（2023春·河南信阳·高一校联考期中）下列说法正确的有（    ）A．若，，则B．已知向量，，则C．若且，则和在上的投影向量相等D．若复数，（），其中是虚数单位，则的最大值为5．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）已知复数，，则（    ）A．B．复数的虚部为2C．复数与在复平面内所对应的点位于同一象限D．复数在复平面内对应的点在函数的图像上6．（2023春·甘肃·高一校联考期中）已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（    ）A．在复平面内对应的点在第一象限B．的虚部是C．D．若复数满足，则的最大值为7．（2023·山东青岛·统考三模）关于x的方程的复数解为，，则（    ）A．B．与互为共轭复数C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若，则的最小值是38．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知复数z=a+bi（a，b），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（    ）A． B． C． D．9．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）设为虚数单位，若复数z满足，则z在复平面内对应的点可能位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2023春·山西太原·高一统考期中）已知复数、，则下列结论正确的是（    ）A．B．若，则C．若，则、中至少有个是D．若且，则 二、单选题11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ）A． B． C．2 D．312．（2022·北京石景山·校考模拟预测）设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限13．（2023·山东德州·三模）若复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．（2023·湖北·统考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（    ）A． B． C． D．15．（2023·广东深圳·校考一模）已知复数，则的虚部为（    ）A． B． C． D．16．（重庆市2023届高三临门一卷（三）数学试题）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（    ）A． B．复数z的共轭复数是C．的实部为 D．17．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a的值为（    ）A．1 B．2 C． D．18．（2023·全国·高一专题练习）已知复数，，则（    ）A． B．的共轭复数为C．复数对应的点位于第二象限 D．复数为实数19．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）若复数满足，则的共复数的虚部是（    ）A． B． C． D．20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限21．（2023·山东潍坊·三模）已知为虚数单位，则“复数是纯虚数”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，常用的欧拉公式有.若复数z满足，则（    ）A． B．1 C． D．23．（2023·江苏·高一专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是（    ）A． B．1 C．2 D．24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）复数满足在复平面内对应的点为，则（    ）A． B． C． D．25．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）规定运算，若复数满足，则的值为（    ）A． B． C． D．26．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）复数满足，则（    ）A． B． C． D．27．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（    ）A． B． C． D．28．（2023春·河南信阳·高一校联考期中）已知为虚数单位，复数，，则（    ）A．的共轭复数为 B．的虚部是C．为实数 D．29．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ）A． B． C． D．30．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设，则“”是“为纯虚数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：1．CD【分析】根据纯虚数的概念及乘法运算判断A，取特殊值判断B，利用复数的模及共轭复数的乘法运算判断C，由复数模及不等式的性质判断D.【解析】对于A，因为是纯虚数，所以设，则，所以A错误；对于B，取，，满足，则不成立，所以B错误；对于C，设，因为，所以，因为，，所以，所以C正确；对于D，设，由，得，则可得，所以，时取等号，所以D正确.故选：BD2．AD【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的运算法则结合共轭复数的定义可判断D选项.【解析】设，.对于A选项，，所以，，A对；对于B选项，取，，则，但，，则，B错；对于C选项，取，，则，，此时，，但，C错；对于D选项，，D对.故选：AD.3．BC【分析】确定或，A错误，计算得到BC正确，举反例，，得到D错误，得到答案.【解析】对选项A：是非零向量，且，则或，错误；对选项B：设，，，，，正确；对选项C：，则，整理得到，正确；对选项D：取，，满足，，错误；故选：BC4．CD【分析】取可判断A；根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B；根据投影向量公式直接求解可判断C；利用复数的几何意义可判断D.【解析】选项A，若，满足，，但与不一定共线，故A错误；选项B，因为向量，，所以，故B错误；选项C，因为且，在上的投影向量为，在上的投影向量，所以．故C正确；选项D，由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如图所示，则，故D正确．故选：CD．  5．BC【分析】直接求出模，即可判断A；直接求出，即可判断B；利用复数的几何意义判断C；把复数对应的点代入直接判断.【解析】由题可知，故A错误；，故复数的虚部为2，故B正确；复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，在复平面内所对应的点也位于第一象限，故C正确；复数在复平面内对应的点为，因为当时，，所以复数在复平面内对应的点不在函数的图像上，故D错误.故选：BC6．AD【分析】由复数的除法运算求出，根据复数的几何意义可判断ACD，根据复数的概念可判断B.【解析】∵，∴在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；的虚部是，故B不正确；，故C不正确；设，，，由得，则点在以为圆心，以1为半径的圆上，则到的距离的最大值为，即的最大值为，故D正确．故选：AD7．BD【分析】根据给定条件，求出，再逐项计算、判断作答.【解析】因为，因此不妨令方程的复数解，对于A，，A错误；对于B，与互为共轭复数，B正确；对于C，，由，得，则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；对于D，设，由，得，显然有，由选项A知，因此，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD8．BCD【分析】逐个代入化简，检验虚部是否为0，即可判断.【解析】对于A，，不一定为实数;对于 B， ;对于 C，;对于 D，.故选：BCD.9．AD【分析】分和两种情况计算，再结合复数的几何意义即可求解.【解析】当时，，对应的点在第一象限；当时，，对应的点在第四象限.故选：AD10．ACD【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可判断D选项.【解析】设，，对于A选项，，所以，，因为，则，所以，，A对；对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B错；对于C选项，若，假设、均不为零，则，，则存在、，使得，，则，因为，则、不可能同时为零，所以，，故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对；对于D选项，，则，因为，则，由C选项可知，，即，D对.故选：ACD.11．D【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.【解析】，由已知得，解得，故选：D12．C【分析】由复数的除法运算、共轭复数的概念及几何意义判定即可.【解析】计算，故其共轭复数为：，对应的点为，显然位于第三象限.故选：C.13．C【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.【解析】设，， 所以所以z在复平面内所对应的点在第三象限.故选：C.14．C【分析】根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解.【解析】因为复数满足：，即，故或，因为复数所对应的点在第四象限，故复数，所以.故选:C.15．D【分析】利用复数四则运算求，结合共轭复数、虚部概念得答案.【解析】由题可得，则，故虚部为.故选：D.16．C【分析】利用复数的几何意义可得，即可根据选项逐一求解.【解析】由题意可知，所以，故B错误，，故A错误，，故实部为，故C正确，，则，故D错误，故选：C17．B【分析】先化简复数z，然后根据实部为0可解.【解析】，因为复数z对应点在虚轴上， 所以，解得.故选：B18．A【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.【解析】因为，，则，，故A正确；的共轭复数为，故B错误；，复数对应的点位于第四象限，故C错误；为纯虚数，故D错误．故选：A.19．A【分析】首先根据复数的除法求出，再根据共轭复数的定义求出，即可得出答案．【解析】因为，所以，所以，所以的虚部是，故选：A．20．A【分析】先求出，再求出即得解.【解析】因为，即，所以，所以，其所对应的点为，位于第一象限.故选：A.21．A【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及充分条件和必要条件的定义即可得解.【解析】，因为复数是纯虚数所以，即，故不同时为，所以，当时，不是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：A.22．A【分析】由欧拉公式计算出，然后用复数的运算法则计算即可.【解析】在中，令，得，所以，所以，所以.故选：A.23．D【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值.【解析】设复数、在复平面内对应的点分别为，复数在复平面对应的点为：由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，而，所以点在线段上，故，则，当时，的最大值为，故选：D24．D【分析】利用复数的几何意义计算即可.【解析】由在复平面内对应的点为可得，又，即.故选：D．25．D【分析】根据所给运算及复数代数形式的乘法运算化简即可.【解析】因为，所以，即，所以.故选：D26．B【分析】根据复数的运算法则，求出，再根据共轭复数的定义得到.【解析】因为，，所以.故选：B.27．B【分析】由复数的运算直接求解得到，再由共轭复数的概念求解即可.【解析】由题知，复数的共轭复数为复数的共轭复数虚部为，故选：B.28．D【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的乘法运算一一判定即可.【解析】对于A，，，故A错误；对于B，的虚部是2，故B错误；对于C，为虚数，故C错误；对于D，，故D正确．故选：D．29．A【分析】由复数的几何意义结合图象可得.【解析】如图，由题意可知，与轴夹角为， 绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又，所以的坐标为，所以对应的复数为.故选：A.30．C【分析】先利用复数运算对复数化简，再利用实部为零，虚部不为零解出，最后确认是充要条件.【解析】依题意，，，故，若该式为纯虚数，则，解得.故选：C.