初中数学1.6 公倍数与最小公倍数优质课教学作业课件ppt

1.6公倍数与最小公倍数（作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·上海浦东新·期末）下面语句不正确的有（       ）

A．5能被2.5整除 B．5能整除2010

C．30和45的最小公倍数是90 D．30和45的最大公因数是15

【答案】A

【分析】根据整除的定义：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，可判断A、B选项；由最小公倍数及最大公因数的计算方法可判断C、D选项．

【详解】解：A、5能被2.5整除，根据整除定义，选项错误；

B、5能整除2010，，选项正确；

C、30和45的最小公倍数是90，选项正确；

D、30和45的最大公因数是15，选项正确；

故选：A．

【点睛】题目主要考查整除的定义及最小公倍数和最大公因数的计算方法，理解整除的定义是解题关键．

2．（2019·上海静安·期中）一个汽车站内有两条线路的公交车，甲路公交车每隔4分钟发一趟车，乙路公交车每隔6分钟发一趟车，这两路公交车上午8：00同时发出一辆车，那么从上午8：00至上午10：30为止同时发车的次数一共是（       ）

A．11次 B．12次 C．13次 D．14次

【答案】C

【分析】找出4和6的最小公倍数，找出从上午8：00至上午10：30中有12分钟的倍数，将其+1即可求出结论．

【详解】解：4，6的最小公倍数为12．

10：30-8：00=2：30，2小时30分钟=150分钟．

150÷12=12（次），12+1=13（次）．

故选：C．

【点睛】本题考查了因数和倍数，找出两路公交车同时发车的间隔时间是解题的关键．

3．（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）下列各数中，能同时被2、3、5整除的数是（　　）

A．20 B．25 C．30 D．35

【答案】C

【分析】通过确定2，3，5的最小公倍数即可解题．

【详解】解：∵2、3、5的最小公倍数是30，

故选项A、B、D都不符合，

故选：C．

【点睛】本题考查哟来说除法中整除的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

二、填空题

4．（2020·上海·青教院附中期中）如果A=223，B=235，那么A、B的最小公倍数是______．

【答案】60

【分析】根据最小公倍数可直接进行求解．

【详解】解：由A=223，B=235可知A、B的最小公倍数是；

故答案为60．

【点睛】本题主要考查最小公倍数，熟练掌握求最小公倍数是解题的关键．

5．（2020·上海市进才实验中学期中）A和B都是正整数，将它们分别分解素因数得，，如果A和B的最小公倍数是315，那么__________．

【答案】3

【分析】根据最大公约数和最小公倍数的求法可知：最大公约数是这两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是这两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答．

【详解】解:∵A和B的最小公倍数是315，

∴

∴3

故答案为:3

【点睛】此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．

6．（2021·上海浦东新·期中）7和35的最小公倍数是______．

【答案】35

【详解】解：因为

所以7和35的最小公倍数是

故答案为：35

【点睛】本题考查的是两个数的最小公倍数的确定，掌握“确定最小公倍数的方法”是解本题的关键.

7．（2021·上海市彭浦初级中学期中）某班学生参加校广播操表演进行分组，按每组8人或每组10人，都能恰好分成整数组，参加广播操表演的至少有__________人．

【答案】40

【分析】求出8,10的最小公倍数即可．

【详解】解：由题意知：的最小公倍数为

故答案为：40．

【点睛】本题考查了最小公倍数．解题的关键在于找出两数的最小公倍数．

8．（2021·上海·青教院附中阶段练习）植树节那天，老师带领24名女生和16名男生到植物园种树，老师把学生分成若干个人数相等的小组，每个小组中男生人数都相等，那么老师最多将这40名同学分成______组．

【答案】8

【详解】解：，，

、16的公因数有1、2、4、8，

、16的最大公因数是8，

老师最多将这40名同学分成8组．

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数，解题的关键是熟练掌握有最大公因数和最小公倍数的定义．

9．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）12和16的最大公因数和最小公倍数的和是_____________．

【答案】52

【分析】根据最大公因数和最小公倍数的定义，可知12与16的最大公因数是，最小公倍数是，求和即可．

【详解】解：∵12=2×2×3，16=2×2×2×2，

∴12和16的最大公因数是4，最小公倍数是48，

∴4+48=52，

故答案为：52．

【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数，属于基础题，快速确定最大公因数和最小公倍数是解题的关键．

10．（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）已知甲数＝2×2×3×m，乙数＝2×3×3×m，甲、乙两数的最大公因数是30，则甲乙两数的最小公倍数是 ______．

【答案】180

【分析】根据甲数＝2×2×3×m，乙数＝2×3×3×m，可知两个数的公有质因数是2、3和m，再根据甲乙两数的最大公因数是30，可求出m＝5，进而两个数的最小公倍数是两个数公有因数与独有质因数的连乘积，计算即可得解．

【详解】解：由题意得2×3×m＝30，

解得m＝5，

所以甲乙两数的最小公倍数是2×3×m×2×3＝2×3×5×2×3＝180．

 故答案为：180

【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数，熟练掌握两个或两个以上的自然数的公倍数（除0外）中最小的，称为这些数的最小公倍数；几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数是解题的关键．

11．（2021·上海市毓秀学校期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是_______________．

【答案】6，15

【分析】根据“两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”得：这两个数的积是3×30=90，根据题意知：该两个数都是合数，然后把90分解成两个合数相乘的形式；进而得出这两个数．

【详解】30×3=90，因为90=2×3×3×5=6×15，

所以这两个数分别为6和15；

故答案为：6和15．

【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确把握最大公因数以及最小公倍数的定义是解题关键．

12．（2021·上海杨浦·期中）若A＝2×3×3，B＝2×3×5，则A和B的最大公因数是_______，最小公倍数_______．

【答案】     6     90

【分析】首先根据：A=2×3×3，B=2×3×5，可得：这两个数的公共质因数是2和3，据此求出A和B的最大公因数是多少；然后根据A独有的质因数是3，B独有的质因数是5，求出它们的最小公倍数是多少即可．

【详解】解：∵A=2×3×3，B=2×3×5，

∴这两个数的公共质因数是2和3，

∴A和B的最大公因数是：2×3=6；

∵A独有的质因数是3，B独有的质因数是5，

∴它们的最小公倍数是：6×3×5=90．

故答案为：6、90．

【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的含义和求法，要熟练掌握．

13．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）如图，填空：A、B的最小公倍数是______________．

【答案】60

【分析】根据短除法最小公倍数计算即可；

【详解】解：A、B的最小公倍数2×5×3×2=60；

故答案是60．

【点睛】本题主要考查了利用短除法求最小公倍数，准确理解是解题的关键．

三、解答题

14．（2021·上海·青教院附中阶段练习）用短除法求36和48的最大公因数和最小公倍数．

【答案】36和48的最大公因数是12；最小公倍数为144．

【分析】根据求最小公倍数的方法可以用短除法求36和48的最小公倍数．

【详解】

解：

36和48的最大公因数是：2×2×3＝12；

36和48的最小公倍数为：2×2×3×3×4＝144．

【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，解答本题的关键是明确求最小公倍数的方法．

15．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）进口博览会期间，甲、乙两家广播电台在每天早晨8：00同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播广告3分钟；乙台每播报15分钟新闻后插播广告3分钟，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问：

(1)早间新闻播报几点结束？

(2)早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了几分钟广告？

【答案】(1)8时36分结束

(2)甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告

【分析】（1）甲台新闻加广告是12分钟，乙台新闻加广告是18分钟；12，18的最小公倍数是36，所以是36分钟之后早间新闻播报结束，由此即可得；

（2）用最小公倍数36分别除以新闻加广告共用的时间再乘插播广告时间即可．

(1)解：，；

∵12和18的最小公倍数是36，

∴早间新闻播报用了36分钟，

∵早晨8：00开始播报早间新闻，

∴结束时间为8：36，

答：早间新闻播报8时36分结束；

(2)（分），

（分）．

答：早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告．

【点睛】题目主要考查最小公倍数及整数四则运算的应用，理解题意是解题关键．

16．（2019·上海静安·期中）小明房间的墙壁上挂着一种“布谷鸟”闹钟，小明经过仔细观察发现每整点“布谷鸟”鸣叫一次，且每走9分钟亮一次灯，某天中午12点它既鸣叫又亮灯，问下一次既鸣叫又亮灯是在几点几分?

【答案】15时整

【分析】每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，即每过1小时就响一次铃，一小时为60分钟，则下一次既响铃又亮灯的经过的时间应是60和9的最小公倍数．

【详解】解：1小时=60分钟．

9和60的最小公倍数为180，

即再过180分钟就是既响铃又亮灯时间，180分钟=3小时．

所以下次响铃的时间应是下午3时，即15时．

故答案为：15时．

【点睛】以后每次既响铃又亮灯的经过的时间都应是9和60的公倍数．

17．（2021·上海·青教院附中阶段练习）根据短除法填空：

(1)_______，_________；

(2)、的最大公因数是_________．

【答案】(1)30，60         (2)30

【解析】(1)解：如图，设第一个方框里的数为，设第二个方框里的数为，设第三个方框里的数为，

由题意，可得，

，

，

为：，为：，

故答案为：30，60；

(2)解：由（1）可知，最大公因数是2×3×5=30，

故答案为：30．

【点睛】本题考查了最小公倍数和最大公因数，几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中除0外最小的一个倍数，叫做这几个数的最小公倍数；几个整数中公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．

18．（2021·上海浦东新·期中）有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给18人，结果都剩下3个，这筐苹果至少有多少个？

【答案】这筐苹果至少有75个

【详解】解：，，

8和18的最小公倍数是，

（个）

所以这筐苹果至少有75个．

【点睛】本题考查了最小公倍数的应用，做题的关键是熟练的求出两个数的最小公倍数．

19．（2021·上海黄浦·期中）在地铁人民广场站，②号线每4分钟有一列车开出，⑧号线每6分钟有一列车开出．在上9：00恰好②号线和⑧号线同时有车从该车站发车，那么到正午时，恰有多少次②号线与⑧号线在该站同时发车？

【答案】16

【分析】由于②号线每隔4分钟有一列车开出，⑧号线每隔6分钟有一列车开出，所以从9:00点开始，每隔12分钟，2号线列车与8号线列车同时发车，据此即可得到解答.

【详解】解：由于②号线每隔4分钟有一列车开出，⑧号线每隔6分钟有一列车开出，

所以从9:00点开始，每隔12分钟，2号线列车与8号线列车同时发车，

∵（12-9）×60÷12=15，

∴15+1=16（次）

所以到正午 12:00 时，恰有16次②号线与⑧号线在该站同时发车．

【点睛】本题考查最小公倍数的应用，熟练掌握最小公倍数的意义是解题关键．

20．（2021·上海市傅雷中学期中）某学校同学参加庆祝“建党100周年”体操表演，要求除了领操的2人外，其余同学既能平均分成6组，又能平均分成8组，进行队伍变换，这个学校至少有多少人参加“建党100周年”体操表演？

【答案】这个学校至少有26人参加“建党100周年”体操表演

【详解】解：6和8的最小公倍数是24，

24+2＝26（人），

答：这个学校至少有26人参加“建党100周年”体操表演．

【点睛】本题考查了最小公倍数，公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数．

21．（2020·上海市进才实验中学期中）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数

(1)36和48；                     (2)16，32和24

【答案】(1)12,144    (2)8,96

【分析】（1）先把36和48分别分解质因数，然后再确定最大公因数和最小公倍数即可；

（2）先把16，32和24分别分解质因数，然后再确定最大公因数和最小公倍数即可．

(1)解： ∵36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3，

∴最大公因数是2×2×3=12，最小公倍数是2×2×2×2×3×3=144.．

(2)解：∵16=2×2×2×2，32=2×2×2×2×2，24=2×2×2×3，

∴最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×2×2×3=96．

【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法，掌握分解质因数是解答本题的关键．

22．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）求下列各组数的最小公倍数

（1）36和60               （2）39和78                （3）15和4

【答案】（1）180；（2）78；（3）60

【分析】根据最小公倍数的定义即可求解．

【详解】解：（1）36=2×2×3×3，60=2×2×3×5，36和60

最小公倍数：2×2×3×3×5=180

（2）如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，所以39和78最小公倍数78．

（3）如果两数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数，15和4最小公倍数60．

【点睛】此题主要考查找最小公倍数，解题的关键是熟知最小公倍数的定义．

【能力提升】

一、单选题

1．（2020·上海·青教院附中期中）下列说法正确的是（       ）

A．因为10÷4=2.5，所以10是4的倍数

B．所有的偶数都是合数

C．两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数

D．1是所有正整数的因数

【答案】D

【详解】解：A、2.5不是整数，故10不是4的倍数，故A选项错误，不符合题意；

B、2是偶数，但2是素数，不是合数，故B选项错误，不符合题意；

C、两个整数的积不一定是这两个数的最小公倍数，例如4和6的积是24，但最小公倍数是12，故C选项错误，不符合题意；

D、1是所有正整数的因数，正确，符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查倍数、合数、最小公倍数、因数，理解这些知识的概念是解答的关键．

2．（2021·上海·九年级专题练习）4与6的最小公倍数是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．12

【答案】D

试题分析：分别把4与6写成几个因数相乘的形式，便不难求出最小公倍数．

解：∵4=2×2，6=2×3，

∴最小公倍数为2×2×3=12．

故选D．

点评：本题考查最小公倍数的方法，比较简单．

二、填空题

3．（2021·上海·期末）12与18的最小公倍数是________．

【答案】36

【分析】根据最小公倍数的意义可知：最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答．

【详解】12=2×2×3，18=2×3×3，

12和18公有的质因数是：2和3，12独有的质因数是2，18独有的质因数是3，

所以12和18的最小公倍数是：2×3×2×3=36；

故答案为：36．

【点睛】本题主要考查了两个数的最小公倍数的求法，注意先把两个数分别分解质因数，再找准公有的质因数和独有的质因数．

三、解答题

4．（2021·上海市复旦初级中学期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．

【答案】最大公因数为18，最小公倍数为432

【分析】用短除法求两个数的最大公约数、最小公倍数即可．

【详解】解：短除法如下：

所以54和144的最大公因数为 ，54和144的最小公倍数为．

【点睛】本题主要考查了求两个数的最大公约数、最小公倍数，掌握“最大公约数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最小公倍数是几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数”，运用短除法求两个数的最大公约数、最小公倍数是解答本题的关键．

5．（2017·上海市玉华中学期中）小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现每次拿出4个、每次拿出5个或每次拿出6个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过100个，但又不足150个，试问这篮苹果共多少个？

【答案】苹果的个数是120个.

试题分析：由题意，所求苹果个数为4、5、6三个数介于100到150之间的公倍数，且为4、5、6最小公倍数的倍数，先求出4、5、6的最小公倍数，然后找出介于100到150之间的公倍数即可.

试题解析：4、5、6的最小公倍数是60，所以苹果的个数是60的倍数.   

∴苹果的总数超过100个，但又不足150个，

∴苹果的个数是120个.

答：苹果的个数是120个.

6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）学校举行跑步比赛，按每组6人或者每组8人分组，都余3人，那么参加跑步比赛的学生至少有多少人？

【答案】27

【分析】由题意，即求6、8的最小公倍数多3的数，求6、8的最小公倍数，然后加上3即可．

【详解】解：根据题意，则

∵6和8最小公倍数24，

∴24+3=27 ；

∴参加跑步比赛的学生至少有27人．

【点睛】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法，明确要求的问题即求6、8的最小公倍数多3的数，是解答此题的关键．