初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．2 证明举例优质教学作业课件ppt

19.2  证明举例—两线垂直（第4课时）（作业）

一、填空题

1．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件___，使得△EAB≌△BCD．

【答案】AE=CB（答案不唯一）

【详解】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，

∴若添加AE=CB可由“SAS”证得△EAB≌△BCD，

故答案为：AE=CB（答案不唯一）

二、解答题

2．如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC．

【答案】见解析

【分析】过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．

【详解】

过D作DE⊥AB于E，

∵AD＝BD，DE⊥AB

∴AE＝AB，∠DEA＝90°，

∵2AC＝AB

∴AE＝AC

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD，

在△DEA和△DCA中，

 ，

∴△DEA≌△DCA，

∴∠ACD＝∠AED，

∴∠ACD＝90°，

∴AC⊥DC．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．

3．已知，，，．直线过点，交、于点、．

（1）若是中线，求证：；

（2）若，求证：．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）延长至，使，易证≌，可得，，再根据可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四个角和为360°，可得，利用△AEF的内角和可得，可得，即可证明≌，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN的内角和为180°可得出结论.

（2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出．根据周角等于360°，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明≌（AAS），得到；易证≌，即可得到．

【详解】解：（1）如图，延长至，使，

∵是中线，∴．

在和中，，

∴≌（SAS）．∴，．

∵，∴．

∵，，∴．

∵，

∴．

在和中，，

∴≌（SAS）．∴．

∵，∴．∴．

在中，，∴．

（2）如图，过点作交的延长线于，则，

∵，∴．

∵，∴．∴．

∵，，∴．

∵，

∴．

在和中，，

∴≌（AAS）．∴．

∵，∴．

在和中，，

∴≌（AAS）．∴．

【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；

第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.

4．如图，在中，已知，平分，且，求证：．

【答案】证明见解析

【分析】在上截取，连结，可得BE=CD，由角平分线的定义可得∠CAD=∠EAD，推出△ACD≌△ADE，易得DE=CD、∠C=∠AED，即DE=BE，由等腰三角形的性质可得∠B=∠BDE，∠CAB=∠B，进而得到∠C=∠DEB=∠DEA，即可得到结论.

【详解】

证明：在上截取，连接，

∵，

∴．

∵平分，

∴．

在与中，

，

∴≌．

∴，．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．

【答案】证明见解析

【分析】连结、，根据等腰三角形得到，利用SAS证明△BEF与△CFG全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.

【详解】

证明：连接、

∵

∴．

在与中，

，

∴≌（SAS）．

∴．

∵是的中点，

∴．

【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.

6．将两块全等的直角三角形如图（1）摆放，其中，．

（1）                   （2）

（1）求证：；

（2）将图中的绕点顺时针旋转得到图（2），、交于点，、交于，求证：．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得∠A＋∠ABC＝90°，根据余角的性质，可得∠D＋∠ABC＝90°，∠D＋∠DBF＝90°，即可证明；

（2）△ECM和△BCN，根据全等三角形的性质，可证明．

【详解】（1）如图延长交于点，

∵，，∴．∴．

∵，∴．∴．∴．

（2）∵，，∴．

在和中，，

∴≌（ASA）．∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了余角的性质，直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质．

7．如图，在中，，，且，，求证：．

【答案】详见解析

【分析】根据可得，即可证明≌，即可证明.

【详解】∵，∴．

在和中，，

∴≌（SAS）．∴．

∴．∴．

【点睛】本题考查等边三角形的性质以及判定，难度不大，注意利用全等三角形的知识证明线段的相等．

8．如图，在中，，平分交于，是上一点，且，求证：．

【答案】详见解析

【分析】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF＝AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝90°．

【详解】作于点，

∵，

∴．

∵，

∴．

∵平分交于，

∴．

在和中，，

∴≌（SAS）．

∴．

∴

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．

9．如图，≌，，．

（1）求的长；

（2）若、、在一条  直线上，则与垂直吗？为什么？

【答案】详见解析

【分析】（1）根据三角形全等，得出边相等即可求出的长；（2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答．

【详解】（1）∵≌，∴，．

∴．

（2）

∵≌，∴．

又、、在一条直线上，∴．∴．

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．

10．如图，在△ABC中，AB=AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于点F，求证：DF⊥BC．

【答案】见解析证明．

【详解】试题分析：过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF∥AM，进而得到DF⊥BC．

试题解析：证明：如图，过A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAM，∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，∴∠BAM=∠D，∴DF∥AM，∵AM⊥BC，∴DF⊥BC．

考点：等腰三角形的性质．