人教A版 (2019)2.2 基本不等式习题

这是一份人教A版 (2019)2.2 基本不等式习题，共9页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
第二章　2.2　基本不等式A级  必备知识基础练1.[探究点三]已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　)A.1 B. C.2 D.42.[探究点三]已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为(　　)A. B. C. D.3.[探究点一](多选题)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)A.0< B.<2C.≥1 D.4.[探究点三·2023江西丰城期末]设x>0,y>0,且xy=4,则的最小值是(　　)A.1 B.2 C.-1 D.-25.[探究点一·2023安徽芜湖期末]《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,且OF⊥AB,点C在直径AB上运动.过点C作CD⊥AB交半圆O于点D.设AC=a,BC=b,则由FC≥CD可以直接证明的不等式为(　　)A.(a>0,b>0)B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)C.(a>0,b>0)D.(a>0,b>0)6.[探究点三]已知t>0,则的最小值为　　　　. 7.[探究点四]已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为　　　       　,的最大值为　　　　　. 8.[探究点三]设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,求实数k的最小值. 9.[探究点二]已知a,b,c为正数,求证:≥3. 10.[探究点四·2023北京石景山期末]下列是一道利用基本不等式求最值的习题:已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:由于a+b=1,所以y=+1-1=+a+b-1=a++b+-1,而a+≥2=2,b+≥2=2.那么y≥2+2-1=1+2,则最小值为1+2.小华的解法:由于a+b=1,所以y==(a+b)=3+,而3+≥3+2=3+2,则最小值为3+2.(1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误?(2)请说明你判断的理由. B级  关键能力提升练11.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是(　　)A.∀x∈R,且x≠0,x+≥2B.∃x∈R,使得x2+1≤2xC.若x>0,y>0,则D.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为912.[2023重庆永川期末]已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)A.9 B.12 C.16 D.1013.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是(　　)A. B.ab≤C.ab≤ D.14.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　)A.-3 B.2 C.3 D.815.[2023山东滕州校级期末]十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数x+3y=3,则的最小值为(　　)A.6 B.4 C.3 D.216.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　. 17.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值. C级  学科素养创新练18.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=的图象上,则的最小值是　　　　　.  答案：1.D　解析 ∵ab=a+b≥2,()2≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.2.B　解析 ∵0<x<1,∴1-x>0.∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.3.CD　解析 A项:=2,∴ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.∵ab>0,∴,A错误;B项:=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B项错误;C项:≥2≥2×=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,故C项正确;D项:a2+b2≥=8,∴,当且仅当a=b=2时,等号成立,∴D项正确.故选CD.4.A　解析 因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,≥2=2=2×=1,当且仅当,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.D　解析 连接AD,BD.因为AC=a,BC=b,所以OF=,OC=-b=.所以CF=.由圆的性质知∠ADB=90°,由射影定理得CD2=CA·CB=ab,所以CD=,由FC≥CD可得,(a>0,b>0).故选D.6.-1　解析 =t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.7.2　3　解析 正实数x,y满足x+2y=4,则xy=x·2y≤=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时,等号成立,故xy的最大值为2.∵≤2×=3,当且仅当x=y+1,且x+2y=4,即x=3,y=时,等号成立.8.解 因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-(a+b),所以k≥--2.因为≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.所以--2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.9.证明 左边=-1+-1+-1=-3.∵a,b,c为正数,∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);≥2(当且仅当a=c时,等号成立);≥2(当且仅当b=c时,等号成立).从而≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).∴-3≥3,即≥3.10.解 (1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+≥2=2,当等号成立时a=1;b+≥2=2,当等号成立时b=,那么y取得最小值1+2时,a+b=1+,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,≥2,等号成立的条件为b2=2a2,即b=a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b的值,所以小华的解法正确.11.BCD　解析 对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y>0时,等号成立,C正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴≤9,D正确.故选BCD.12.C　解析 由已知a>0,b>0,不等式恒成立,所以m≤(a+4b)恒成立,令y=(a+4b),则问题转化为求y的最小值,y=(a+4b)=8+≥8+2=16,当且仅当,即a=4b时,等号成立.所以m≤16.故选C.13.BCD　解析 当a>0,b>0时,因为,所以,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.14.C　解析 令y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即 x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.15.A　解析 因为=2+,又x+3y=3,所以x-1+3y-1=1,且x-1>0,3y-1>0.所以=(x-1+3y-1)=1++1≥2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故的最小值为6.故选A.16.　解析 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴.当且仅当b=时,等号成立.17.解 ∵(x+y)=1+a+,又x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,∴1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,等号成立.∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a≥4,故a的最小值为4.18.8　解析 ∵点(a,b)在反比例函数y=的图象上,∴b=,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴=a+b+≥8,当且仅当a+b=,即a+b=4时,等号成立,所以的最小值是8.