人教A版高中数学必修第一册第2章一元二次函数、方程和不等式测评习题含答案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第2章一元二次函数、方程和不等式测评习题含答案，共12页。
第二章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若a>1,b>1,且a≠b,则a2+b2,2ab,a+b,2中最大的是(　　)A.a2+b2 B.2ab C.a+b D.22.[2023陕西宝鸡期末]不等式x2-2x-8≥0的解集是(　　)A.{x|-2≤x≤4} B.{x|x≤-2或x≥4}C.{x|-4≤x≤2} D.{x|x≤-4或x≥2}3.不等式的解集是(　　)A.{x|x<2} B.{x|x>2} C.{x|0<x<2} D.{x|x<0或x>2}4.若a<1,b>1,那么下列结论正确的是(　　)A. B.>1 C.a2<b2 D.ab<a+b5.已知a>0,b>0,且满足=1,则ab的最大值是(　　)A.2 B.3 C.4 D.66.[2023山东聊城东昌府期末]已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<4},则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为(　　)A. B.C. D.7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值等于(　　)A.10 B.9 C.8 D.78.[2023广东广州期末]如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为(　　)A. B.1 C.2 D.6二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a>b>c,下列不等关系不成立的是(　　)A.ac+b2>ab+bc B.ab+bc>b2+acC.ac+bc>c2+ab D.a2+bc>b2+ab10.设a>b>1,c<0,下列四个结论正确的有(　　)A. B.ac<bcC.a(b-c)>b(a-c) D.11.若a>0,b>0,与不等式-b<<a不等价的是(　　)A.-<x<0或0<x< B.-<x<C.x<-或x> D.x<-或x>12.对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是(　　)A. B.ab≤C.ab≤2 D.2≤三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.[2023上海奉贤期末]已知关于x的等式2 022x2+x+13=a(x-2)2+b(x-2)+c恒成立,则a-b+c=　　　　　. 14.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-3或x>1},则ab=　　　　　,一元一次不等式ax+b<0的解集为　　　　　　　　　　. 15.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示),则每辆客车营运　　　　　年时,年平均利润最大. 16.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0,对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围是　　　　　. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)[2023山西临汾月考](1)已知x>1,求4x+的最小值;(2)求关于x的不等式的解集:ax2+(2a-1)x-2<0(a∈R). 18.(12分)[2023江苏连云港期末]设a为实数,函数y=ax2+ax+1.(1)若方程y=0有实根,求a的取值范围;(2)若不等式y>0的解集为R,求a的取值范围. 19.(12分)某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得某车(属于该品牌)的刹车距离不小于40 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少? 20.(12分)[2023山西朔州期末]已知m+2n=2,且m>-1,n>0.(1)求的最小值;(2)求的最小值. 21.(12分)某建筑队在一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工,规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓,要求顶点C在地块的对角线MN上,点B,D分别在边AM,AN上,假设AB长度为x米.(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米,AB的长度应在什么范围?(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大?最大值是多少平方米? 22.(12分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.(1)求证y1=-a或y2=-a;(2)求证函数的图象必与x轴有两个交点;(3)若y>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),解关于x的不等式cx2-bx+a>0. 答案：1.A　∵a>1,b>1,∴a2+b2>a+b.易知a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.∵a≠b,∴a2+b2>2ab.同理,a+b>2.综上,最大的是a2+b2.故选A.2.B　不等式x2-2x-8≥0,可化为(x+2)(x-4)≥0,解得x≤-2或x≥4.即不等式的解集为{x|x≤-2或x≥4}.故选B.3.D　由,得<0,即x(2-x)<0,解得x>2或x<0.故选D.4.D　利用特值法,令a=-2,b=2,则,A错误;<0,B错误;a2=b2,C错误;易知D正确.故选D.5.B　因为a>0,b>0,且满足=1,所以1≥2,化为ab≤3,当且仅当a=,b=2时,等号成立,则ab的最大值是3.故选B.6.B　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<4},∴x=-1和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0.∴解得∴不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为-3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0.又a<0,∴上式等价于3(x2-1)-(x+3)+4>0.整理,得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)>0,解得x>1或x<-.故不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为.故选B.7.B　=4++1=5+2≥5+2×2=9,当且仅当a=b=时,等号成立.又≥m恒成立,∴m≤9,即m的最大值等于9.故选B.8.C　记该直角三角形的斜边为c=2,直角边为a,b,则a2+b2=c2=8.因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,即(a+b)2≤16.当且仅当a=b,且a2+b2=8,即a=b=2时,等号成立.因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以该直角三角形的周长a+b+c≤4+c=4+2,即a=b=2时周长取最大值4+2.故这个直角三角形周长取最大值时,该三角形的面积为×2×2=2.故选C.9.ACD　对于A,若ac+b2>ab+bc,则ac-bc>ab-b2,即c(a-b)>b(a-b),不成立;对于C,若ac+bc>c2+ab,则ac-c2>ab-bc,即c(a-c)>b(a-c),不成立;对于D,若a2+bc>b2+ab,则a2-ab>b2-bc,即a(a-b)>b(b-c),若a=4,b=3,c=1,不成立;易证得B正确.故选ACD.10.ABC　∵a>b>1,c<0,∴>0,∴,A正确;∵a>b,c<0,∴ac<bc,B正确;∵a>b>1,c<0,∴a(b-c)-b(a-c)=ab-ac-ab+bc=-c(a-b)>0,∴a(b-c)>b(a-c),C正确;,又a-b>0,c<0,∴<0,即,D错误.故选ABC.11.ABC　若x>0,a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于<a,即x>,若x<0,a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于-b<,即x<-.故选ABC.12.BCD13.2 036　因为关于x的等式2 022x2+x+13=a(x-2)2+b(x-2)+c恒成立,即关于x的等式2 022x2+x+13=ax2+(b-4a)x+4a-2b+c恒成立.所以解得所以a-b+c=2 036.14.　由题意知,-3和1是方程x2+ax+b=0的两根,所以解得故ab=.所以不等式ax+b<0即为2x-3<0,所以x<.15.5　二次函数图象的顶点为(6,11).设y与x的关系式为y=a(x-6)2+11(a≠0),代入点(4,7),解得a=-1.所以y=-x2+12x-25,年平均利润为=-x++12≤-2+12=2,当且仅当x=,即x=5时,等号成立.16.{m|2-2<m<2+2}　设y=x2-mx+m+2=x-2-+m+2.①当≤-2,即m≤-4时,此时y在x=-2处取最小值,最小值为4+2m+m+2=3m+6>0,解得m>-2.又m≤-4,∴无解;②当-2<<4,即-4<m<8时,此时y在x=处取最小值,最小值为-+m+2>0,解得2-2<m<2+2.又-4<m<8,∴2-2<m<2+2;③当≥4,即m≥8时,此时y在x=4处取最小值,最小值为16-4m+m+2=18-3m>0,∴m<6.又m≥8,∴无解.综上,m的取值范围为{m|2-2<m<2+2}.17.解(1)x>1,4x+=4(x-1)++4≥2+4=8,当且仅当4x-4=,即x=时,等号成立,上式取得最小值8.(2)原不等式可变形为(ax-1)(x+2)<0,当a=0时,解集为{x|x≥-2};当a>0时,解集为x;当a=-时,解集为{x|x≠2};当a<-时,解集为;当-<a<0时,解集为.18.解(1)若方程y=0有实根,即方程ax2+ax+1=0有实根,当a=0时,方程化为1=0,显然无根,不符合题意;当a≠0时,则方程ax2+ax+1=0的判别式Δ=a2-4a≥0,解得a<0或a≥4.综上,a的取值范围为{a|a<0或a≥4}.(2)若不等式y>0的解集为R,即不等式ax2+ax+1>0的解集为R,当a=0时,不等式化为1>0,显然恒成立,符合题意;当a≠0时,则解得0<a<4.综上所述,a的取值范围为{a|0≤a<4}.19.解设这辆汽车刹车前的车速为x km/h.根据题意,有x+x2≥40,化简,得(x-80)(x+90)≥0.故不等式的解集为{x|x≤-90或x≥80}.在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.20.解(1)因为m+1+2n=3,所以=1,又m>-1,n>0,所以=3.当且仅当,且m+2n=2,即m=0,n=1时,等号成立,则的最小值为3.(2)=2(n+1)+-8+m+1+-6=-9=-9.因为m+1+2n+2=5,所以=1,所以原式=-9=-9≥-9=-9=.当且仅当,且m+2n=2,即m=,n=时,等号成立,则的最小值为.21.解(1)依题意知△NDC∽△NAM,所以,即,则AD=20-x.故矩形ABCD的面积为S=20x-x2.根据条件0<x<30,要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米,即S=20x-x2≥144,化简得x2-30x+216≤0,解得12≤x≤18.故AB的长度应在12~18米内.(2)由(1)得,S=20x-x2=x(30-x)≤2=150,当且仅当x=30-x,即x=15时,等号成立.此时AD=20-x=10.故AB=15米,AD=10米时,学生公寓ABCD的面积最大,最大值是150平方米.22.(1)证明∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.(2)证明当a>0时,二次函数的图象开口向上,由(1)知图象上的点A或点B的纵坐标为-a,且-a<0,∴图象与x轴有两个交点;当a<0时,二次函数的图象开口向下,图象上的点A或点B的纵坐标为-a,且-a>0.∴图象与x轴有两个交点.∴二次函数的图象必与x轴有两个交点.(3)解∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),∴a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且c>0.∴∴=-,∴cx2-bx+a>0,即x2-x+>0,即x2+x+>0,∴x+x+>0.∵n<m<0,∴-<-,∴不等式cx2-bx+a>0的解集为.