高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时练习题，共10页。
第四章4.3　等比数列4.3.1　等比数列的概念第1课时　等比数列的概念及通项公式A级 必备知识基础练1.[探究点一]在等比数列{an}中,a3=1,a7=3,则a15的值为(　　)A.9 B.27 C.81 D.2432.[探究点一·2023福建福州月考]在数列{an}中,an+1=-2an,且a2=1,则an=(　　)A.2n-2 B.(-2)n-2 C.2n-1 D.(-2)n-13.[探究点三·2023广东佛山月考](多选题)已知函数f(x)=lg x,则下列说法正确的是(　　)A.f(2),f(),f(5)成等差数列B.f(2),f(4),f(8)成等差数列C.f(2),f(4),f(16)成等比数列D.f(2),f(12),f(72)成等比数列4.[探究点三](多选题)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{};③{};④{log2|an|}.其中一定为等比数列的是(　　)A.① B.② C.③ D.④5.[探究点二]在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　　　　　　. 6.[探究点一]在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=　　　　　　　. 7.[探究点二]在等比数列{an}中,若a1=,公比q=2,则a4与a8的等比中项是　　　　. 8.[探究点四]已知数列{an}满足a1=,且an+1=λan+1(n∈N*,λ∈R且λ≠-).求使数列{an+1}是等比数列的λ的值.         9.[探究点四]已知在数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*).(1)求证:数列{an+}为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.                  B级 关键能力提升练10.已知数列{an}是等比数列,则方程组的解的情况为(　　)A.唯一解 B.无解C.无数多组解 D.不能确定11.数列{an}中,a1=,am+n=aman(∀m,n∈N*),则a6=(　　)A. B. C. D.12.在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0,则=(　　)A. B. C. D.113.(多选题)已知{an}为等比数列,下列结论正确的是(　　)A.若a3=-2,则≥8 B.≥2C.若a3=a5,则a1=a2 D.若a5>a3,则a7>a514.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它后两项的和,则它的公比q=　　　　. 15.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=　　　　　. 16.已知数列{an}满足a1=,an+1=,若bn=-1,则数列{bn}的通项公式为bn=　　　　　　　. 17.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.      18.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n·(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.                       C级 学科素养创新练19.(多选题)在数列{an}中,如果对任意n∈N*都有=k(k为常数),则称{an}为等差比数列,k称为公差比.下列说法正确的是(　　)A.等差数列一定是等差比数列B.等差比数列的公差比一定不为0C.若an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比20.在数列{4n-3}中抽取部分项(按原来的顺序)构成一个新数列,记为{an},再在数列{an}中插入适当的项,使它们一起能构成一个首项为1,公比为3的等比数列{bn}.若bk=729,则数列{bn}中第k项前(不含bk)插入的项的和最小为(　　)A.30 B.91 C.273 D.820
第1课时　等比数列的概念及通项公式1.B　设等比数列{an}的公比为q,由a7=a3q4,得q4=3,所以a15=a3q12=a3(q4)3=33=27.故选B.2.B　∵an+1=-2an,a2=1,∴a1=-,∴数列{an}是首项为-,公比为-2的等比数列,∴an=-×(-2)n-1=(-2)n-2.故选B.3.ABC　根据题意,依次分析选项.对于A,f(2)=lg 2,f()=lg,f(5)=lg 5,则有f(2)+f(5)=2f(),A正确;对于B,f(2)=lg 2,f(4)=lg 4=2lg 2,f(8)=lg 8=3lg 2,则有f(2)+f(8)=4lg 2=2f(4),B正确;对于C,f(2)=lg 2,f(4)=lg 4=2lg 2,f(16)=lg 16=4lg 2,则f(2),f(4),f(16)成等比数列,C正确;对于D,f(2)=lg 2,f(12)=lg(4×3)=2lg 2+lg 3,f(72)=lg 72=3lg 2+2lg 3,f(2),f(12),f(72)不成等比数列,D错误.故选ABC.4.AB　设等比数列{an}的公比为q,则=q,故{2an}是等比数列;=q2,故{}是等比数列;取等比数列an=(-1)n,则{}的前三项为,2,,不成等比数列;此时log2|an|=0,{log2|an|}不成等比数列.故选AB.5.80,40,20,10　设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.∴这4个数依次为80,40,20,10.6.3·　由2an+1-an=0,得,所以数列{an}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=3·.7.±4　依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.8.解若数列{an+1}是等比数列,则=μ(μ为非零常数),即(λ-μ)an+2-μ=0,对于任意n∈N*恒成立,则解得λ=2.故当λ=2时,数列{an+1}是等比数列.9.(1)证明∵2an+1=6an+2n-1(n∈N*),∴an+1=3an+n-,∴=3.∵a1+=1+,∴{an+}为等比数列,首项为,公比为3.(2)解由(1)得,an+×3n-1=×3n,∴an=×3n-.10.C　由题意,数列{an}是等比数列,可得,所以直线a1x+a2y=a3与a4x+a5y=a6重合,所以方程组有无数组解.11.C　由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=.令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=×()n-1=()n,故a6=()6=.12.A　由an+1-2an=0得=2,即数列{an}是以2为公比的等比数列,则.13.ABD　若a3=-2,则≥2a2a4=2=8,当a2=a4=±2时,等号成立,故A正确;因为≥2a3a5=2,当a3=a5时,等号成立,故B正确;设等比数列的公比为q,因为a3=a5,所以q2==1,所以q=±1,当q=-1时,a1=-a2,故C错误;设等比数列的公比为q,则q2>0,因为a5>a3,所以a5q2>a3q2,即a7>a5,故D正确.故选ABD.14.　依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得q=.15.32　由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.16.2n-1　因为an+1=,所以-1,所以-1=-2=2(-1),而-1=1,且bn=-1.所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=1×2n-1=2n-1.17.证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.∴由=2知{an}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.=2.∴数列{bn}是等比数列.18.(1)证明假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有=a1a3,即(λ-3)2=λ(λ-4)⇔λ2-4λ+9=λ2-4λ⇔9=0,矛盾.所以{an}不是等比数列.(2)解是等比数列,证明如下:因为bn+1=(-1)n+1·[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1·(an-2n+14)=-(-1)n·(an-3n+21)=-bn,又b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,b1=0,此时{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,所以=-(n∈N*).故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.19.BCD　对于等差数列{an},考虑an=1,an+1=1,an+2=1,无意义,所以A选项错误;若等差比数列的公差比为0,=0,an+2-an+1=0,则an+1-an=0,与题目矛盾,所以B选项正确;若an=-3n+2,则=3,数列{an}是等差比数列,所以C选项正确;若等比数列是等差比数列,则an=a1qn-1,q≠1,=q,所以D选项正确.20.C　∵等比数列{bn}首项为1,公比为3,故其通项公式为bn=3n-1.令3k-1=729,可得3k-1=36,可得k=7.数列{bn}的前6项为1,3,9,27,81,243,其中1,9,81为数列{4n-3}中的项,而3,27,243不是数列{4n-3}的项,所以插入的项的和最小为3+27+243=273.故选C.