高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法当堂检测题，共10页。试卷主要包含了[探究点一]用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明等式等内容，欢迎下载使用。
第四章4.4*　数学归纳法A级 必备知识基础练1.[探究点一·2023福建福州检测]用数学归纳法证明“+…+>1”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,不等式的左边比当n=k时增加的项为(　　)A. B.C. D.2.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=(　　)A.f(k)+[2(2k+1)] B.f(k)·[2(2k+1)]C.f(k)+ D.f(k)·3.[探究点一](多选题)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*).若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时也成立,则下列判断中正确的是(　　)A.p(k)对k=528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立4.[探究点一](多选题)对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,≤1+1,不等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则n=k+1时,<=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.关于上述证明过程的说法正确的是(　　)A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确5.[探究点五·2023江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为　　　　　　　　　. 6.[探究点四]在数列{an}中,a1=,an+1=.(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.       7.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2.      8.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数f(n)=.       B级 关键能力提升练9.用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边(　　)A.增加了 B.增加了 C.增加了 D.增加了10.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=(　　)A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是(　　)A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立12.用数学归纳法证明“当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k∈N*)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A的表达式为　　　　　　　　. 13.是否存在a,b,c使等式+…+对一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.         14.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).         15.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).(1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.          C级 学科素养创新练16.观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128,625+81≥512,….(1)根据这些不等式,归纳出一个关于正整数n的命题;(2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题. 
4.4*　数学归纳法1.D　当n=k时,不等式的左边等于+…+,且k∈N*,当n=k+1时,不等式的左边等于+…+,当n=k+1时,不等式的左边比当n=k时增加的项为.故选D.2.B　由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].3.AD　由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD.4.BCD　n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.5.34(34k+2+52k+1)-56·52k+1　34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.6.(1)解由a1=,an+1=,得a2=,a3=.猜想an=.(2)证明①当n=1时,a1=,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=,那么,当n=k+1时,ak+1=,结论成立.由①和②可知对任意n∈N*,都有an=成立.7.证明①当n=5时,25=32,52=25,显然25>52,所以此时命题成立.②假设n=k(其中k≥5)时命题成立,即2k>k2.因为k≥5,所以k2≥5k>2k+1,因此2k+1=2×2k>2×k2≥k2+5k>k2+2k+1=(k+1)2.可知不等式当n=k+1时也成立.综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立.8.证明①当n=2时,两条直线只有一个交点.而f(2)=1,命题成立.②假设当n=k(k≥2)时,命题成立,即f(k)=.那么,当n=k+1时,第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点.即f(k+1)=f(k)+k=+k=,即当n=k+1时,命题成立.由①②知,对于n≥2原命题成立.9.D　当n=k时,+…+,当n=k+1时,+…+,左边增加了.10.C　依题意,Sk=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴Sk+1-Sk=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).11.AD　选项A中,若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正确;选项D中,若f(4)≥5成立,则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),结合f(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有f(1)<2成立,故C错误;B不一定成立.所以选AD.12.A=4(5k+3k-1)　因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1).故A=4(5k+3k-1).13.解取n=1,2,3可得解得a=,b=,c=.下面用数学归纳法证明+…+.即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),故当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,故存在a=,b=,c=使已知等式成立.14.证明①当n=1时,左边=1+α,右边=1+α,命题成立.②假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,当n=k+1时,因为α>-1,所以1+α>0.根据假设知,(1+α)k≥1+kα,所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2.因为kα2≥0,所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.从而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.这表明,当n=k+1时命题也成立.根据①和②,该命题对于任意正整数n都成立.15.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=,f3(x)=f1[f2(x)]= .猜想:fn(x)=(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=(n∈N*),①当n=1时,f1(x)=,显然成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=,即对n=k+1时,猜想也成立.结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立.16.(1)解不等式可写为5+3≥23,52+32≥25,53+33≥27,54+34≥29,所以归纳得到命题:5n+3n≥22n+1(n∈N*).(2)证明①当n=1时,易知命题成立;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立,即5k+3k≥22k+1,则当n=k+1时,5k+1+3k+1=5×5k+3×3k=(4+1)×5k+(4-1)×3k=4×(5k+3k)+5k-3k≥4×22k+1+5k-3k≥22(k+1)+1,即n=k+1时,命题也成立,由①②可知,5n+3n≥22n+1.