数学人教A版 (2019)4.4 对数函数练习题

第四章　4.4.3　不同函数增长的差异

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]下列函数中,增长速度越来越慢的是(　　)

A.y=6x B.y=log6x 

C.y=x6 D.y=6x

2.[探究点二](多选题)有一组实验数据如表所示:

则下列所给函数模型较不适合的有(　　)

A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)

C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)

3.[探究点一](多选题)下面对函数f(x)=lox与g(x)=x在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)

A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快

B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢

C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢

D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快

4.[探究点三(角度1)]某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是(　　)

5.[探究点一]函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1　　　　　Δy2(填“>”“=”或“<”). 

6.[探究点三(角度2)]某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.

(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式;

(2)因受到影响,2024年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,求出2024年的年产量.

B级  关键能力提升练

7.下图为某种植物1~5年内的植株高度,根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律,下列函数模型中符合要求的是(　　)

A.y=kax+b(k>0,a>0,且a≠1) 

B.y=klogax+b(k>0,a>0,且a≠1)

C.y=+b(k>0) 

D.y=ax2+bx+c(a>0)

8.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=,h(x)=的大小关系是(　　)

A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)

C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)

9.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(单位:月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有(　　)

10.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是(　　)

A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2

B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1

C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3

D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1

11.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:

①当x>1时,甲在最前面;

②当x>1时,乙在最前面;

③当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面;

④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;

⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.

其中正确结论的序号为　　　　. 

12.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m2,经过3个月其覆盖面积约为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过x(x∈N*)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=loga(x+1)+q(a>1)可供选择.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;

(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍?

C级  学科素养创新练

13.(多选题)已知函数f1(x)=2x,f2(x)=2x+1,g1(x)=logax(a>1),g2(x)=kx(k>0),则下列结论正确的是(　　)

A.函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点

B.∃x0∈R,当x>x0时,恒有g1(x)>g2(x)

C.当a=2时,∃x0∈(0,+∞),f1(x0)<g1(x0)

D.当a=时,方程g1(x)=g2(x)有解

答案：

1.B

2.ABD　解析 由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.

3.ABD　解析 在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如下图所示,由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.

4.C　解析 观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的.

5.<　 解析 由这两个函数的图象可知,指数函数增长得快些,所以Δy1<Δy2.

6.解 (1)符合条件的是f(x)=ax+b,

理由:若模型为f(x)=2x+a,

则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=lox+a,则f(x)是减函数,与已知不符合.

由已知得解得

所以f(x)=x+,x∈N*.

(2)2024年预计年产量为f(7)=×7+=13,

2024年实际年产量为13×(1-30%)=9.1.

所以2024年的年产量为9.1万件.

7.B　解析 由散点图可知,植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型,即B符合.故选B.

8.D　解析 在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,

由图象知,D正确.

9.BCD　解析 由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.

10.BD　解析 在同一坐标系内画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示:

对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确;

故选BD.

11.③④⑤　解析 路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).

它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.

当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;

当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;

根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,画出四个函数的图象(图略),可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,从而当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面,则③正确;

结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,则④正确;

指数型函数的增长速度是先慢后快,若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,则⑤正确.

12.解 (1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,

y=loga(x+1)+q(a>1)的增长速度越来越慢,

∴依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则解得

故y=8(x∈N*).

(2)设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,

则k·≥k×100.∵k>0,则≥100,

故x≥lo100=≈11.36.

∵x∈N*,故x=12.

即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.

13.AD　解析 对于A,指数函数f1(x)=2x与一次函数f2(x)=2x+1都过(0,1),但f1(x)=2x在x增大时呈爆炸式增长,故还会出现一个交点,如图所示,所以函数f1(x)和f2(x)的图象有两个公共点,故A正确;

对于B,取x=0,g2(x)=kx(k>0)=0,当x→0时,g1(x)=logax(a>1)→-∞,此时g1(x)<g2(x),故B错误;对于C,当a=2时,指数函数f1(x)=2x与对数函数g1(x)=log2x互为反函数,两函数图象关于直线y=x对称,如图所示,

由图可知,∀x∈R,有f1(x)>g1(x)恒成立,故C错误;

对于D,当a=时,g1(x)=lox,g2(x)=kx(k>0),

由a>1知,>1,且两个函数都过点,即方程g1(x)=g2(x)有解,故D正确.

故选AD.