人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）习题

第四章　4.5　函数的应用(二)

4.5.1　函数的零点与方程的解

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]函数f(x)=4x-2x-2的零点是(　　)

A.(1,0) B.1 

C. D.-1

2.[探究点三]若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(k∈Z),则k=(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

3.[探究点二]已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

4.[探究点二](多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)在区间(0,1)内一定有零点

B.f(x)在区间(0,1)内一定没有零点

C.f(x)在区间(1,2)内可能有零点

D.f(x)在区间(1,2)内一定有零点

5.[探究点四]函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,3) B.(1,2) 

C.(0,3) D.(0,2)

6.[探究点四]若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　. 

7.[探究点五]已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.

B级  关键能力提升练

8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为(　　)

A.(-4,0)

B.(-∞,-4)∪(0,+∞)

C.(-∞,-4]∪[0,+∞)

D.[-4,0)

9.已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

10.已知实数x0是函数f(x)=的一个零点,若0<x1<x0<x2,则(　　)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

11.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:

则下列说法正确的是(　　)

A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点

B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点

C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点

D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点

12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是(　　)

A.a<α<b<β B.a<α<β<b

C.α<a<b<β D.α<a<β<b

13.已知函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,则正数a的取值范围是(　　)

A. B.[,2)

C.[,1) D.(1,2)

14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　　. 

15.已知函数f(x)=若f(x0)=-1,则x0=　　　　　,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围为　　　　　. 

16.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.

(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点?

(2)若函数其中一个零点是0,求m的值.

(3)若f(x)=0有两个实数根,且一个根大于2,一个根小于2,求实数m的取值范围.

C级  学科素养创新练

17.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.

(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;

(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.

答案：

1.B　解析 由f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,解得x=1.

2.A　解析 因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,

且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,

所以函数的零点在区间(1,2)内.

又因为函数的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,所以k=1.故选A.

3.C　解析 根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;

令1++3x=0,无解,故函数y=f(x)+3x只有两个零点,故选C.

4.AC　解析 因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1)<0,因为函数f(x)的图象在R上连续不断,由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)内一定有零点.

又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)内是否有零点.

5.C　解析 易知f(x)在区间[1,2]上的图象是一条连续不断的曲线且f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.

6.　解析 因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,

所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.

结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,且f(2)=1-5k>0,所以0<k<.

故实数k的取值范围为.

7.解 令x2-mx+a-m=0,

因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,

故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,

即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,

即a≤+m对任意的实数m恒成立.

∵+m=(m+2)2-1≥-1,∴a≤-1.

∴实数a的取值范围是(-∞,-1].

8.D　解析 由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,

又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足

解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.

9.C　解析 ∵f(x)=令f(x)=0,

当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);

当x>0时,-1=0,解得x=1.所以f(x)=0有2个实数解,

即函数f(x)的零点个数为2.故选C.

10.B　解析 因为y=与y=-在(0,+∞)上单调递增,

所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,

所以当0<x1<x0<x2时,有f(x1)<f(x0)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0.故选B.

11.B　解析 由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.

由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.

虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.

同理,在[5,6]上也如此.

12.C　解析 ∵α,β是函数f(x)的两个零点,

∴f(α)=f(β)=0.

又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.

13.C　解析 函数f(x)=

若f(x)恰有两个零点,可得2x-1=0,解得x=0<1;

(x-a)(x-2a)=0,可得x=a或x=2a,由a≥1,2a<1,a无解;

由2a≥1,a<1,可得≤a<1.综上可得a的取值范围是[,1).故选C.

14.a<b<c　解析 画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.

观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.

15 -1　(0,1)　 解析 由方程f(x0)=-1,得解得x0=-1.

关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根等价于y=f(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,观察图象可知,当0<k<1时,符合题意.

16.解 (1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,

易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<.

由Δ=0,解得m=;由Δ<0,解得m>.

故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;

当m>时,函数无零点.

(2)由题意知0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,故有1-m=0,解得m=1.

(3)由题意可得f(2)>0,即-7-m>0,则m<-7.

故实数m的取值范围为(-∞,-7).

17.解 (1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,

∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.

则解得k=-2.

此时Δ>0,故k=-2.

(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,

∴

则

∴α2+β2在区间内的取值范围为.

故α2+β2的取值范围为.