高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）复习练习题

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1.[探究点一](多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)=3x-1B.f(x)=x2-4x+4
C.f(x)=lg4xD.f(x)=ex-2
2.[探究点一]若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为( )
A.1.4B.1.3
C.1.2D.1.5
3.[探究点一](多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点,其中a>0,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2,0,a4,0,a8,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间0,a16内可能有零点
B.函数f(x)在区间a16,a8内可能有零点
C.函数f(x)在a16,a内无零点
D.函数f(x)的零点可能是a16
4.[探究点三]3的近似值(精确度0.1)为 .
5.[探究点二]已知函数f(x)=3x+x-2x+1在(-1,+∞)上单调递增,用二分法求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).
6.[探究点三]已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于14.
B级 关键能力提升练
7.在用二分法求2的近似值的过程中,可以构造函数f(x)=x2-2(x>0),我们知道f(1)·f(2)<0,所以2∈(1,2),要使2的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为( )
A.3B.4
C.5D.6
8.用二分法求方程ln x-1x=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为( )
A.(1,1.25)B.(1,1.5)
C.(1,2)D.(1.5,2)
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是( )
A.f54B.f(2)
C.f(1)D.f32
10.已知f(x)=1x-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n= .若用二分法求x0的近似值(精确度0.01),则至少需要将区间等分 次.
11.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.
C级 学科素养创新练
12.已知函数f(x)=x.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明.
(2)函数g(x)=f(x)+lg2x-2在区间(1,3)内是否有零点?若有零点,用二分法求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,请说明理由.
(参考数据:1.25≈1.118,1.5≈1.225,1.75≈1.323,lg21.25≈0.32,
lg21.5≈0.585,lg21.75≈0.807)
答案：
1.ACD 解析 f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2时,f(x)>0;当x>2时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值总是异号.故选ACD.
2.A 解析 由表格中参考数据可得f(1.437 5)>0,f(1.406 25)<0,又因为题中要求精确度为0.1,所以近似根为1.4,故选A.
3.ABD 解析 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,
因此,零点应在0,a16或a16,a8中,或fa16=0,故选ABD.
(答案不唯一) 解析 令f(x)=x2-3.
因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以方程x2-3=0在区间[1,2]上有实数解,如此下去,f(1.5)=-0.75<0,f(1.75)=0.062 5>0,f(1.625)=-0.359 375<0,f(1.687 5)=-0.152 343 75<0.
因为1.687 5-1.625=0.062 5<0.1,所以我们可以选取区间[1.625,1.687 5]内的任意一个数作为方程x2-3=0的一个近似解.例如,可以选取1.625作为方程x2-3=0的一个近似解.
即1.625为满足精确度0.1的3的近似值.
5.解 由于函数f(x)=3x+x-2x+1在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,因此f(x)=0的正根最多有一个.
因为f(0)=-1<0,f(1)=52>0,所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 5<0.01,
所以方程的正根的近似值为0.273 437 5,即f(x)=0的正根约为0.273 437 5.
6.(1)证明 令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=lnx1x2+2(x1-x2),
∵x1x2>1,x1-x2>0,∴f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)至多有一个零点.
又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,
∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(2)解 ∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=2+32=52,f52=ln 52-1<0,
∴f(3)f52<0,即f(x)零点x0∈52,3.
取x2=52+32=114,则f114=ln114-12>0.
∴f52f114<0.∴x0∈52,114.
又114-52=14≤14,∴满足题意的区间为52,114.
7.B 解析 设要计算n次,则n满足12n<0.1,即2n>10.
故计算4次就可满足要求.
所以将区间(1,2)至少等分的次数为4.故选B.
8.D 解析 令f(x)=ln x-1x,
因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-12=ln 2-ln e12>ln 2-ln 412=ln 2-ln 2=0,
f(1.5)=ln32-23=ln32-23ln e=13ln323-13ln e2=13(ln 278-ln e2)<13(ln 4-2)=0,
所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.
9.BD 解析 由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,
不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;
②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;
③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点32;
④零点在区间1,32内,则有f(1)·f32<0,则f(1)>0,f32<0,取中点54;
⑤零点在区间54,32内,则有f54·f32<0,则f54>0,f32<0,
所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f32.
10.1 7 解析 f(x)=1x-ln x在(0,+∞)上为减函数,
又f(1)=1>0,f(2)=12-ln 2<0,
所以f(x)的零点x0∈(1,2),故n=1.
设至少需等分n次,则12n≤0.01且n∈N,解得n≥7,故至少需等分7次.
11.解 因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,
所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.
至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:
取区间[-2,-1]的中点x1=-2-12=-32,且f-32=-278-94+5=-58<0,
所以x0∈-32,-1.
取区间-32,-1的中点x2=-32-12=-54,
且f-54=(-54)3-(-54)2+5>0,
所以x0∈-32,-54.
取区间-32,-54的中点x3=-54-322=-118,且f-118=(-118)3-(-118)2+5>0,
所以x0∈-32,-118.
因为-118--32<0.2,
所以区间-32,-118的中点x4=-32-1182=-2316即为零点的近似值,即x0≈-2316,
所以至少需进行3次函数值的计算.
12.解 (1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
理由如下:令0≤x1故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
(2)易知g(x)=x+lg2x-2在(1,3)内是单调递增的.
∵g(1)=1+lg21-2=-1<0,g(3)=3+lg23-2>0,g(2)=2+lg22-2=2-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.
∵g(1.5)=1.5+lg21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,
g(1.75)=1.75+lg21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,
∴函数的零点在(1.5,1.75)内.
∵1.75-1.5=0.25<0.3,
∴g(x)零点的近似值为1.5.(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以)f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162
f(1.406 25)=-0.054
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
-0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
-0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
-0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)