人教A版高中数学数学选择性必修第一册第7周检测(第二章)习题含答案

这是一份人教A版高中数学数学选择性必修第一册第7周检测(第二章)习题含答案，共17页。
第7周检测(第二章)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x-3y-3=0的倾斜角为(　　)
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
2.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,则实数a的值为(　　)
A.-2 B.-23
C.1 D.1或-2
3.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.π4,π3 B.π3,π2
C.π4,π2 D.π3,π2
4.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离d的最小值是(　　)
A.5 B.6
C.23 D.25
5.已知A(2,4),B(1,0),动点P在直线x=-1上,当|PA|+|PB|取最小值时,点P的坐标为(　　)
A.-1,85 B.-1,215
C.(-1,2) D.(-1,1)
6.若第一象限内的点(m,n)关于直线x+y-2=0对称的点在直线2x+y+3=0上,则1m+8n的最小值是(　　)
A.25 B.259
C.17 D.179
7.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险地区,若城市B在A地正东40 km处,则B城市处于危险地区的时间为(　　)
A.0.5 h B.1 h
C.1.5 h D.2 h
8.已知点A(-2,-1),B(2,0),直线ax+y-2=0与线段AB相交,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1]
B.-32,1
C.[1,5)
D.-∞,-32∪[1,+∞)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.以下结论正确的有(　　)
A.直线3x-y+a=0(a∈R)的倾斜角为60°
B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离等于1
C.直线x-2y+3=0关于原点对称的直线方程为x+2y-3=0
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-2=0
10.已知动直线l:kx-y-k+1=0与圆C:x2+y2-4y=0,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l过定点(1,1)
B.圆C的圆心坐标为(0,-2)
C.直线l与圆C的相交弦的弦长的最小值为22
D.直线l与圆C的相交弦的弦长的最大值为4
11.若关于x的方程x+1-x2-b=0有唯一实数解,则b的取值可能是(　　)
A.12 B.1
C.-2 D.2
12.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,且λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则下列说法正确的是(　　)
A.点M的轨迹围成区域的面积为32π
B.△ABM面积的最大值为82
C.点M到直线x-y+4=0的距离的最大值为52
D.若圆C:(x+1)2+(y-1)2=r2上存在满足条件的点M,则半径r的取值范围为[2,92]
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在平面直角坐标系中,A(0,1),B(0,2),若动点C在直线y=x上,圆M过A,B,C三点,则圆M的面积最小值为　　　　　. 
14.已知直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,则k=　　　　　. 
15.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0所过定点A的距离,当θ变化时,d的最大值与最小值的差是　　　　　. 
16.已知圆x2+(y-2)2=1上一动点A,定点B(6,1),x轴上一点W,则|AW|+|BW|的最小值等于　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0).求:
(1)BC边上的中线所在直线的方程;
(2)BC边上的高所在直线的方程;
(3)三角形ABC的面积.









18.(12分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.








19.(12分)已知线段AB的端点B的坐标是(6,8),端点A在圆x2+y2=16上运动,M是线段AB的中点,且直线l过定点(1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)记(1)中求得的图形的圆心为C,若直线l与圆C相切,求直线l的方程.





















20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知过点(2,-1)的圆C和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)过圆C外的一点P向圆C引切线PA,A为切点,O为坐标原点,若|PA|=|OP|,求当|PA|最短时点P的坐标.






21.(12分)已知直线l:(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0与圆C:x2-2x+y2=0交于M,N两点.
(1)求出直线l恒过的定点的坐标.
(2)求直线l的斜率的取值范围.
(3)若O为坐标原点,直线OM,ON的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.








22.(12分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与y轴交于M,N两点,且M在N的上方,直线y=2x+5与圆O相切.
(1)求实数r的值.
(2)若动点P满足|PM|=3|PN|,求△PMN面积的最大值.
(3)设圆O上相异两点A,B满足直线MA,MB的斜率之积为33.试探究直线AB是否经过定点.若经过,请求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.









参考答案
第7周检测(第二章)
1.A　直线x-3y-3=0可化为y=33x-3,
设其倾斜角为α,0≤α0,y=6k-63k+2>0,解得k>1.设直线l的倾斜角为α,则k=tan α>1.又0≤α0,n>0,2n+m=9,即m=95,n=185时,等号成立.故选B.
7.B　以A为坐标原点,正东方向为x轴建立平面直角坐标系,如图.

由题得当台风在线段EF上时,B城市处于危险地区,
且弦EF所在圆的方程为x2+(y-40)2=302,圆心B(0,40),
则圆心B(0,40)到直线EF:y=x的距离为d=402=202,
直线y=x被圆x2+(y-40)2=302截得的弦EF的长度为|EF|=2302-(202)2=20,所以B城市处于危险地区的时间为2020=1(h).故选B.
8.D　易知直线ax+y-2=0恒过定点P(0,2),直线的斜率为-a,如图所示,

kPA=2+10+2=32,kPB=2-00-2=-1.若直线ax+y-2=0与线段AB相交,则-a≥32或-a≤-1,解得a≤-32或a≥1.故选D.
9.AB　对于A,直线3x-y+a=0变形得y=3x+a,斜率为3,所以倾斜角为60°,故A正确;
对于B,因为圆心(0,0)到直线l:x-y+2=0的距离等于1,而圆的半径为2,因此圆上有三个点到直线l:x-y+2=0的距离等于1,故B正确;
对于C,直线x-2y+3=0化为y=x2+32,关于原点对称的直线方程的斜率为12,过0,-32,
故方程为y=x2-32,即x-2y-3=0,故C错误;
对于D,当直线在x轴和y轴上截距都为0时,
设直线的方程为y=kx,代入(1,1),可得k=1,即方程为y=x,
当直线在x轴和y轴上截距不为0时,设直线的方程为xm+ym=1,即x+y-m=0,代入(1,1),可得m=2,
则直线的方程为x+y-2=0,
综上,满足条件的直线方程为y=x或x+y-2=0,故D错误.故选AB.
10.ACD　对于A,直线l:kx-y-k+1=0,即k(x-1)-y+1=0,令x-1=0,1-y=0,得x=1,y=1,即直线l过定点(1,1),故A正确;
对于B,圆C:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心坐标为C(0,2),故B错误;
对于C,因为12+(1-2)2=20,
将点A(0,1)代入得a2+14=r2.
又因为圆M与直线y=x相切,所以|a-32|2=r,解得a=-72或12.
即(r2)min=12,此时圆M的面积取得最小值π2.
14.43或0　由(x-1)2+(y-1)2=4可知圆心为C(1,1),半径为2.
设直线与圆交于A,B两点,∵直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,

∴∠ACB=120°,∴圆心到直线的距离为半径的一半,
∴|2k-1|1+k2=1,解得k=0或k=43.
15.2　直线x-my-2=0过定点A(2,0),
由题意d=(cosθ-2)2+sin2θ=5-4cosθ,
故当cos θ=-1时,dmax=3;当cos θ=1时,dmin=1.
则d的最大值与最小值的差是3-1=2.
16.35-1　根据题意画出图象如图所示,

作B关于x轴的对称点B',连接圆心与B',|AB'|即为|AW|+|BW|的最小值,
|AB'|=(6-0)2+(-1-2)2-1=35-1.
17.解 (1)∵A(1,3),B(3,1),C(-1,0),
∴线段BC的中点坐标为1,12,
易知BC边上的中线所在直线的斜率不存在,
∴BC边上的中线所在的直线方程为x=1.
(2)∵kBC=0-1-1-3=14,
∴BC边上的高所在直线的斜率k=-4,
∴BC边上的高所在直线的方程为y-3=-4(x-1),即4x+y-7=0.
(3)直线BC的方程为y-01-0=x+13+1,即x-4y+1=0,
则点A到直线BC的距离d=|1-3×4+1|12+42=101717.
又|BC|=(3+1)2+(1-0)2=17,
∴S△ABC=12×17×101717=5.
18.解 (1)设Q(x,y),易知x≠1,3,由题意得kMN=3,kPN=-2.
因为PQ⊥MN,所以kPQ·kMN=-1,即yx-3×3=-1.①
因为PN∥MQ,所以kPN=kMQ,即y+1x-1=-2.②
由①②,得x=0,y=1,即Q(0,1).

(2)如图所示,设Q(x,0),x≠2,因为∠NQP=∠NPQ,
所以kNQ=-kNP.
又kNQ=22-x,kNP=-2,所以22-x=2,即x=1,所以Q(1,0).
又M(1,-1),所以MQ⊥x轴,
故直线MQ的倾斜角为90°.
19.解 (1)设M(x,y),A(x0,y0),
∵M是线段AB的中点,
∴x0+62=x,y0+82=y,整理可得x0=2x-6,y0=2y-8.
∵点A在圆x2+y2=16上,∴(2x-6)2+(2y-8)2=16,
整理可得点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)由(1)知圆心C(3,4),半径r=2,
①当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与圆C相切,满足题意;
②当直线l斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,由直线l与圆C相切,
得圆心到直线l距离d=|3k-4-k|k2+1=2,解得k=34,
则l:3x-4y-3=0.
综上所述,直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0.
20.解 (1)由题意设圆心坐标为(a,-2a),
可得(a-2)2+(-2a+1)2=|a-2a-1|2,
解得a=1,
故圆心坐标为(1,-2),
半径r=|1-2-1|2=2,
∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)连接AC(图略),设P(x,y),
∵切线PA与半径CA垂直,∴|PA|2=|PC|2-|AC|2.
又|PA|=|PO|,
∴|PC|2-|AC|2=|PO|2,
即(x-1)2+(y+2)2-2=x2+y2,整理得x=2y+32.
∴|PA|=|PO|=x2+y2=(2y+32)2+y2=5y2+6y+94.
当y=-610=-35时,|PA|最小,此时x=2×-35+32=310,∴P310,-35.
21.解 (1)由直线l:(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0,
得m(x-2y+4)+(2x+y-2)=0,
联立x-2y+4=0,2x+y-2=0,解得x=0,y=2,
∴直线l恒过定点(0,2).
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=0,与圆相切,不符合题意,故直线l的斜率存在,由(1)可知,直线l的方程可设为y-2=k(x-0),即kx-y+2=0.
由圆C:x2-2x+y2=0,知圆心C(1,0),半径r=1.
∵直线l与圆C交于M,N两点,∴圆心C到直线l的距离d