高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时作业，共11页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知抛物线E等内容，欢迎下载使用。
第三章3.3.2　抛物线的简单几何性质A级  必备知识基础练1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)A.2 B.1C.4 D.82.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有(　　)A.4条 B.3条 C.2条 D.1条3.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致为(　　)4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为(　　)A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=x5.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 (　　)A.2 B. C. D.36.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=　　　. 7.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是　　　　　. 8.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.                   B级  关键能力提升练9.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)A. B.3 C. D.10.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l作垂线得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是(　　)A.∠CFD=90° B.△CMD为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为± D.△AOB的面积为411.已知A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)A. B.+1C. D.-112.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程.(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.                              13.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,圆M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若点A在直线x+y=0上,求圆M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.  
参考答案3.3.2　抛物线的简单几何性质1.C　抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+=8,所以p=4,所以焦点F到抛物线准线的距离等于4.2.B　当过点P(0,1)的直线斜率存在时,设其方程为y=kx+1,由方程组消去y,得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个公共点;若k≠0,则令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点.当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个公共点.综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有3条.3.D　(方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为=1与y2=-x.因为a>b>0,所以>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.4.B　设点M(xM,yM),则由|MF|=4|OF|得xM+=4×,即xM=p,则=3p2,则|yM|=p,则S△OMF=p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.5.A　由得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×48<0,故方程无解,则直线3x+4y+12=0与抛物线相离.又d1+d2=d1+1+d2-1,而d1+1为点P到准线x=-1的距离,故d1+1等于点P到焦点F(1,0)的距离,从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离,即=3,故d1+d2的最小值为2.6.2　(方法1)根据过焦点的弦长公式可知|AB|==8,解得p=2.(方法2)∵点F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.设点A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知xA+xB=3p,xAxB=.|AB|==4p=8,解得p=2.7.4　根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为(y0>0),则有tan,解得y0=2,故边长为4.8.解 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则Δ=144(t-1)2-144t2>0,即t<,x1+x2=-.从而-,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.9.D　设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),把x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.∵=6,∴x1x2+y1y2=6,从而(y1y2)2+y1y2-6=0.∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-3,故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,又F,y2=-,∴S△ABO+S△AFO=×3×(y1-y2)+y1=y1+≥2,当且仅当y1=,即y1=时,等号成立.∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是.10.AC　由y2=4x,得2p=4,即p=2,∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.从而x1+x2=4m2+2, ①x1x2=1. ②又|AF|=3|BF|,∴x1+=3x2+,即x1=3x2+2. ③将③代入①,得x2=m2.将③代入②,得3+2x2-1=0,解得x2=或x2=-1(舍去).∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,故C正确;C(-1,y1),D(-1,y2),∴=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确;M(2m2+1,2m),∴=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=,结合图形知△CMD不是直角三角形,故B错误;S△AOB=|OF||y1-y2|=,故D错误.故选AC.11.B　由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),如图所示.过点P作PQ⊥l于点Q,设∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=.结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin θ最小,从而m最大.设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),由得x2-4kx+4=0,由Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).在双曲线=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,2a=|PA|-|PB|=2-2,即a=-1,∴离心率e=+1.故选B.12.解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-2+>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=,所以直线l的方程为2x-y-2=0.(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立,消去y,得x2-(n+8)x+n2=0,其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,则n>-4. (*)又因为xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.13.解 (1)因为圆M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以圆心M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为圆M与直线x+2=0相切,所以圆M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故圆M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得圆M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.