人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第1课时综合训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第1课时综合训练题，共13页。试卷主要包含了在空间直角坐标系中,定义等内容，欢迎下载使用。
第一章1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题第1课时　距离问题A级  必备知识基础练1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为 (　　)A. B.2C. D.2.[2023河北沧州高二阶段练习]两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　)A. B. C. D.33.已知直线l过点P(1,3,1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点A(1,-1,-1)到直线l的距离为(　　)A.3 B.4C.2 D.34.[2023辽宁建平高二阶段练习]如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1=2,则点C到直线AB1的距离为(　　)A. B.C. D.5.(多选题)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱DC上运动(不与顶点重合),则点B到平面AD1P的距离可以是              (　　)A. B.C.2 D.6.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱A1B1的中点,P在正方体内部且满足,则下列说法正确的是(　　)A.点A到直线BE的距离是B.点A到直线BE的距离是C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为D.点P到直线AB的距离为7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D间的距离是　　　　　. 8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　　. B级  关键能力提升练9.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于(　　)A. B.C.2 D.510.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱A1D1的中点,Q为棱A1B1上任意一点,E,F为棱CD上两个动点,且线段EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　)A.等于aB.和线段EF的长度有关C.等于aD.和点Q的位置有关11.如图,多面体ABC-A1B1C1是由长方体一分为二得到的,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,点D是棱BB1的中点,则异面直线DA1与B1C1的距离是　　　　　. 12.[2023广东信宜高二阶段练习]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求点F到平面AEC1的距离.                  13.如图,在四棱锥A-BCDE中,AB=AC=CD=2BE=4,BE∥CD,CD⊥CB,AB⊥AC,O为BC中点,且AO⊥平面BCDE.(1)求点B到平面ADE的距离.(2)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE?如果不存在,请说明理由;如果存在,求的值.    
参考答案1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题第1课时　距离问题1.D　∵)=(4,3,6)==(0,1,0),∴,∴||=.2.A　∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),则=(1,2,3).又两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d=.故选A.3.A　由题得,=(0,-4,-2),||=2,则点A到直线l的距离为=3.故选A.4.D　由题意知,BC=AC=AB=2,BB1=.取棱AC的中点O,则BO⊥AC,BO=.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(,0,),C(0,1,0),所以=(,1,),=(0,-2,0),所以上的投影的长度为,故点C到直线AB1的距离为d=.故选D.5.CD　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),设P(0,t,0)(0<t<3),所以=(-3,t,0),=(-3,0,3),=(0,3,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面AD1P的法向量,则令y1=3,则x1=t,z1=t,可得n=(t,3,t).则点B到平面AD1P的距离为d=.因为0<t<3,所以点B到平面AD1P的距离的取值范围是(,3).故选CD.6.BC　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,0,1,所以=(-1,0,0),=-,0,1.设∠ABE=θ,则cos θ=,sin θ=.故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×,故A错误,B正确.由图易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d2=.即平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.因为,所以=.又=(1,0,0),则,所以点P到AB的距离d3=,故D错误.7.　以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1).设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,z1),=(1,0,1),=(1,1,0),由取x1=1,则y1=-1,z1=-1,可得m=(1,-1,-1).设平面A1C1D的法向量为n=(x2,y2,z2),=(0,-1,1),=(1,0,1),由取x2=1,则y2=-1,z2=-1,可得n=(1,-1,-1).因为m=n,平面AB1C与平面A1C1D不重合,故平面AB1C∥平面A1C1D.因为=(0,1,0),所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d=.8.　建立如图所示空间直角坐标系,则D1(0,2,2),E(2,1,0),C(2,2,0),=(2,-1,-2).设=t=(2t,-t,-2t),0≤t≤1,则P(2t,2-t,2-2t).设点P在平面ABCD上的投影为P'(2t,2-t,0),则PP'∥CC1,故点P到直线CC1的距离d=P'C,所以d=||=.当t=时,dmin=.9.B以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-D,所以方程可化为-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=.10.A　取棱B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P,0,a,∴=(0,a,0),=(a,0,a),=,0,a.设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=,故A正确,C错误.故选A.11.　以B为坐标原点,分别以BC,AB,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),A1(0,1,2),B1(0,0,2),C1(1,0,2),∴=(0,1,1),=(1,0,0).设m=(x,y,z)是的公垂线方向上的单位向量,则·m=0,即y+z=0,①·m=0,即x=0,②易知x2+y2+z2=1,③联立解得不妨取m=0,,-,又=(-1,0,-1),则异面直线DA1与B1C1的距离d=.12.解(1)以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C1(0,1,0),E1,,0,F1,,1,则=(0,1,0),=(-1,1,-1),=0,,-1,=-1,,0,=0,,0.取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),则a2=1,a·u=,则点B到直线AC1的距离为.(2)设点F到平面AEC1的距离为d,平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则x=1,y=2,所以n=(1,2,1).又=0,,0,故点F到平面AEC1的距离为d=.13.解(1)∵AO⊥平面BCDE,BC⊂平面BCDE,∴AO⊥BC.∵O为BC中点,取ED中点M,∴OM∥CD.∵CD⊥CB,∴OM⊥CB.如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,∵AB⊥AC,且AB=AC,∴BC==4.则A(0,0,2),B(2,0,0),C(-2,0,0),E(2,2,0),D(-2,4,0),O(0,0,0),∴=(0,2,0),=(4,-2,0),=(2,2,-2).设平面ADE的法向量n=(x,y,z),则令x=1,则y=2,z=3,即n=(1,2,3),则点B到平面ADE的距离d=.(2)存在.由(1)得=(-2,0,-2).设=λ=(-2λ,0,-2λ),0≤λ≤1,则Q(-2λ,0,2(1-λ)),∴=(-2λ,0,2(1-λ)).若OQ∥平面ADE,则⊥n,∴·n=-2λ+6(1-λ)=0,解得λ=,则.故线段AC上存在一点Q,当时,OQ∥平面ADE.