人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时课堂检测

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第一章第2课时　夹角问题A级  必备知识基础练1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,侧棱长为4,底面是边长为4的正三角形,则异面直线AB'与BC'所成角的余弦值为(　　)A. B. C. D.2.[2023山东招远高二阶段练习]若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是棱A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　)A. B. C. D.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为(　　)A. B. C. D.4.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,棱AB,SC的中点分别为E,F.若直线EC与BF所成角的余弦值为,则SD=(　　)A.2 B.C.4 D.15.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面B'AC⊥平面DAC,则二面角B'-CD-A的余弦值为(　　)A.2 B.C. D.6.(多选题)在△ABC中,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,将△ABC绕直线AB旋转至△ABP处,使平面ABP⊥平面ABC,则(　　)A.在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度为πB.点B到平面PAC的距离为C.直线AP与直线PC所成角为D.直线AB与平面PBC所成角的正弦值为7.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,0≤λ≤1.若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则λ的值为　　　　　. 8.[2022全国高二课时练习]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,则平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为　　　　　. B级  关键能力提升练9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为(　　)A.30° B.45°C.90° D.60°10.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶,则直线AF与CE所成角的余弦值为(　　)A. B.C. D.11.[2023黑龙江哈尔滨高二阶段练习]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°,若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为　　　　　. 12.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.            13.[2023福建高三阶段练习]如图,在五面体ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,CC1⊥平面ABC,AA1∥BB1.已知AB=AC=2,AA1=3,A1B1=A1C1,且BB1<CC1.(1)证明:AA1⊥平面ABC;(2)求平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角的余弦值的取值范围.     参考答案第2课时　夹角问题1.C　由题意,取线段AC的中点O,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,2,0),B'(0,2,4),C'(-2,0,4),所以=(-2,2,4),=(-2,-2,4),所以cos<>=,所以AB'与BC'所成角的余弦值为.故选C.2.D　取棱AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,令三棱柱的棱长为2,则OB=,A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(,0,2),所以=(0,1,2),=(0,-1,2),=(,-1,2).设n=(x,y,z)为平面B1DC的法向量,由令z=1,则x=0,y=2,得n=(0,2,1).设直线AD与平面B1DC所成的角为α,则sin α=|cos<,n>|=,所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.故选D.3.B　以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,,D(0,1,0),∴=(0,1,-1),=1,0,-.设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z),则令x=1,则z=2,y=2.∴n1=(1,2,2).由图可知,平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos<n1,n2>=,则sin<n1,n2>=,故平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为.故选B.4.C　以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设SD=t(t>0),则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),所以F0,1,,所以=(-2,1,0),=-2,-1,.因为直线EC与BF所成角的余弦值为,所以|cos<>|=,解得t=4,即SD=4.故选C.5.D　设菱形ABCD的边长为1,取线段AC的中点O,连接B'O,DO,因为∠AB'C=∠ADC=60°,所以B'O⊥AC,DO⊥AC.又平面B'AC⊥平面DAC,平面B'AC∩平面DAC=AC,所以B'O⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C,0,0,B'0,0,,D0,,0,所以=0,0,,=,0,-,=-,0.设平面B'CD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1).易知平面CDA的一个法向量为=0,0,,所以|cos<,n>|=.故选D.6.ABC　延长AB,过点C作CO⊥AB,交AB的延长线于点O,根据旋转的知识可知PO⊥AB,由于平面ABP⊥平面ABC,且交线为AB,PO⊂平面ABP,所以PO⊥平面ABC,由于CO⊂平面ABC,所以PO⊥CO,故AO,CO,PO两两相互垂直,由此建立如图所示空间直角坐标系,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,所以tan∠CBO=2,∠CBO为锐角,解得cos∠CBO=,sin∠CBO=,所以BO==1,CO=PO==2.所以在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度为×π×22=π,A选项正确.A(2,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(-2,2,0),=(0,2,-2),=(1,0,0),设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1),则取x1=1,则y1=1,z1=1,故m=(1,1,1),所以B到平面PAC的距离为,B选项正确.因为OA=OC=OP=2,则AP=PC=AC=2,所以△PAC是等边三角形,所以直线AP与PC所成角为,C选项正确.=(1,0,-2),=(0,2,-2),设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),则取x2=2,则y2=1,z2=1,故n=(2,1,1),设直线AB与平面PBC所成角为θ,则sin θ==,所以D选项错误.故选ABC.7.　以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0),=(0,0,-2),=(-2,0,0).所以=(0,2,-1),+λ=(0,0,-2)+λ(-2,0,0)=(-2λ,0,-2),0≤λ≤1,所以|cos<>|=,解得λ=或λ=-(舍去).8.　以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,则A(0,0,0),D(2,0,0),D1(2,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,0),=(2,0,2),=(0,2,1).由题可得是平面AA1B1B的一个法向量.设平面AD1E的法向量n=(x,y,z),则取x=2,则y=1,z=-2,得n=(2,1,-2).设平面AA1B1B与平面AD1E所成角为θ,所以平面AA1B1B与平面AD1E所成角的余弦值为cos θ=.所以平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为.9.D以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,∵M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,∴M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-1,0,1),=(-2,2,0),设异面直线AC和MN所成的角为θ,则cos θ=,又θ是锐角,∴θ=60°.∴异面直线AC和MN所成的角为60°.故选D.10.C　因为AE∶ED∶AD=1∶1∶,所以AE⊥ED,则AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以cos<>=,所以直线AF与CE所成角的余弦值为.故选C.11.　在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.因为∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD.又AP∩PD=P,AP⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,从而AB⊥平面PAD.又PF⊂平面PAD,故AB⊥PF.又PF⊥AD,AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,取棱BC中点为E,以FA,FE,FP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.取PA=1,则AD=,PF=,所以A,0,0,P0,0,,B,1,0,C-,1,0.所以=-,1,-,=(,0,0),=,0,-,=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则取z=,则y=1,x=0,故n=(0,1,).设m=(x1,y1,z1)是平面PAB的法向量,则取z1=1,则x1=1,y1=0,故m=(1,0,1).则cos<n,m>=,故平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.12.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面ASD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin θ=|cos<>|=,故cos θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为 n=(x,y,z),由令z=1,则x=2,y=-1.故n=(2,-1,1).设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.13.(1)证明因为AA1∥BB1,且AA1⊄平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,所以AA1∥平面BB1C1C.因为AA1⊂平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BB1C1C=CC1,所以AA1∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以AA1⊥平面ABC.(2)解由(1)可知,AA1⊥AB,AA1⊥AC.又AB⊥AC,则以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设B1(2,0,m),C1(0,2,n).又A1(0,0,3),且A1B1=A1C1,所以22+(m-3)2=22+(n-3)2,即(m-3)2=(n-3)2.又BB1<CC1,所以m<3<n,所以3-m=n-3,即n=6-m(0<m<3),所以=(2,0,m-3),=(0,2,3-m).设平面A1B1C1的法向量为t1=(x,y,z),则取x=m-3,则z=-2,y=3-m,即t1=(m-3,3-m,-2).设平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角为θ,且平面AA1C1C的法向量t2=(1,0,0),所以cos θ=.因为=2+∈,+∞,所以平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角的余弦值的取值范围是0,.