高中第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课时训练

第二章2.4.2　圆的一般方程

A级  必备知识基础练

1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　)

A.2 B. C.1 D.

2.(多选题)下列结论正确的是(　　)

A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程

B.圆的一般方程和标准方程可以互化

C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆

D.若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0

3.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是(　　)

A.x2+y2+4x-2y-5=0

B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y=0

D.x2+y2-4x+2y=0

4.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)

A.x+y-3=0 B.x-y-3=0

C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0

5.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线的中点的轨迹方程是(　　)

A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1

C.(2x-3)2+4y2=1 D.x+2+y2=

6.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是　　　　　. 

7.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.

B级  关键能力提升练

8.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是(　　)

A.两个点 B.四个点 C.两条直线 D.四条直线

9.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0] 

C.[0,+∞) D.[5,+∞)

10.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

11.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　. 

12.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.

(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;

(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.

参考答案

2.4.2　圆的一般方程

1.D　因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=.

2.ABD　A,B显然正确;C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0,所以表示点(1,-2);D正确.

3.C　设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.

4.C　圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由斜率k==2,再根据直线的点斜式方程可知所求直线为y=2(x-3),即2x-y-6=0.

5.C　设M(x0,y0)为圆上的动点,则有=1,设线段MA的中点为P(x,y),则x=,y=,

则x0=2x-3,y0=2y,代入=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.

6.-∞,　由(-2)2+12-4k>0得k<.

7.解∵圆心在直线2x-y-3=0上,

∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),

则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.

把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,

得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2, ①

(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2, ②

由①②可得a=2,r2=10.

故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,

即x2+y2-4x-2y-5=0.

8.B　方程(x2-4)2+(y2-4)2=0,

则x2-4=0,且y2-4=0,即解得得到4个点.

9.A　圆x2+y2-4x+2y+a=0,即(x-2)2+(y+1)2=5-a,圆心(2,-1),半径r=.

∵圆与x轴、y轴都有公共点,∴解得a≤1.

10.C　由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),

连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小,否则,在x轴上另取一点S',连接S'P,S'P',S'Q,由于P与P'关于x轴对称,所以|SP|=|SP'|,|S'P|=|S'P'|,所以|SP|+|SQ|=|SP'|+|SQ|=|P'Q|<|S'P'|+|S'Q|=|S'P|+|S'Q|.故(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=-1=9.

11.(x-8)2+y2=36(y≠0)　设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD长为3,

∴=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0).

12.解(1)m=1,则圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)到直线的距离为,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,

所以x1+x2=,x1x2=.

因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=+4=0,所以m=,此时Δ>0.