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中考数学解题技巧(7)巧取特殊值(二次函数图像信息题)
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这是一份中考数学解题技巧(7)巧取特殊值(二次函数图像信息题),共12页。试卷主要包含了,下列结论等内容,欢迎下载使用。
中考数学解题技巧(七)、巧取特殊值(二次函数图像信息题) (马铁汉)二次函数图像信息多选题,是运用图像信息进行推理,判断结论是否正确。此类题的特点是,题干中,二次函数解析式含有参数,具有一般性;还会给出一些条件作限制,如告诉二次函数的对称轴位置、经过某些点、在指定区间范围内的增减性等;给出几个结论,让你判断它们中哪些结论是正确的。常规方法推理需要很扎实的基本功,且需要大量的时间。这里我们不妨取特殊值,验证结论是否正确,反正是选择题,找出其中的正确答案即可。 下面通过几个中考题,作简要介绍。鉴赏题:1、(2022随州)10.如图,已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线.则下列结论正确的有(C)①;②;③函数的最大值为;④若关于x的方程无实数根,则. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个方法一、(推理判断)解:①× . ② √ 对称轴,∴,∴③ √ 由图形知,当时,。∴,∴ 由②知 由图形知当时,函数取最大值。 ∴④ √ 若关于x的方数无实数根,则∴ ∴ 故选C方法二、(取特殊值验证)解:针对题中取,则二次函数解析式可写成交点式,再变成一般式,然后验证四个结论是否正确:,①,∴结论错误。②,∴结论正确。③, 最大值为,,∴结论正确。④,化简为 ,无解。∴结论正确。故选C。鉴赏题:2、(2022恩施)12.已知抛物线 ,当时,;当时,下列判断:①; ②若,则 ③已知点,在抛物线上,当时,;④若方程 的两实数根为,,则其中正确的有个.( C )A. B. C. D. 解:方法一:(取特殊值验证)针对题中②问题,取,得二次函数符合题中条件,如图1。下面验证:①√ ,∴②√ 由取特殊值得知正确。③√ 如图1所示。④× 这是在的前提下得出的结论,若没有这个前提呢,如图2所示这个结论就不一定正确了。这是取特殊值的局限性。所以针对题中条件和问题取特殊值判断时,要再三斟酌!方法二:(推理判断) ①二次函数 与x轴有两个交点,∴方程有两个不相等的实数根。∴∆= ∴ ∴ 结论正确。②当时,,∴∴当c˃1时,∴结论正确.③抛物线的对称轴。二次函数,当时,随增大而减小。∴当时,。∴结论正确。④当时,∴∵c的范围没有确定∴不能保证∵ 的两实数根为,,得 ∴不能保证∴结论错误。附参考方法技巧:关于二次函数图像多选题,主要考查二次函数图像的性质、二次函数与一元二次方程的关系,方程、不等式性质,有时涉及几何图形的性质,综合性强,比较灵活,要关注问题条件的特殊性,下面介绍一些解题方法技巧。(1).确定、、符号的方法:①由抛物线开口方向判断的正负性:开口向上,;开口向下,。②由对称轴在轴的左右位置,可判别与的符号是否相同,方法是左同右异: 对称轴在 轴左边 ,、同号; 对称轴在轴右边 ,、异号。③由抛物线与 轴交点位置,判断的符号:交点在原点上方,; 交点在原点下方,。 ④决定抛物线的形状,、决定对称轴的位置,、、决定顶点位置。(2).由对称轴的值,可得方程或不等式,用于判断含、的式子。比如:当时,;当时,看的符号,若得到;若时,得到。当时,。多选题中经常用到。(3).关注特殊点(=、、......)的函数值或正负性,与坐标轴的交点及顶点坐标,可得方程或不等式。比如当时,得到关于的方程或不等式;时,得到关于的方程或不等式。再加上若有或代入,可得到关于或关于的方程或不等式。(4)关注抛物线的对称性。(5)得出的方程或不等式可以相加减或相乘。(6)关注函数的增减性,自变量的取值范围。(7)关注二次函数与一元二次方程的关系。①抛物线与横轴交点个数,确定的范围,多用于判断含的式子;②运用根与系数关系,判断含的式子。(8)有时可采用特殊方法:取特殊值,得出符合二次函数特点的具体函数,通过计算作出判断,注意取值的特殊性是否影响结论的判断。(有时确定的范围时,可以取满足条件的顶点值,通过计算得出的值,判断的范围是否正确。)例1、(2021鄂州9.)二次函数的图象的一部分如图所示.已知图象经过点,其对称轴为直线.下列结论:①;②;③;④若抛物线经过点,则关于的一元二次方程的两根分别为,5.上述结论中正确结论的个数为( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个一、推理判断:①√∴②×由对称性知,当时,函数值大于0,∴③√,当时,函数值小于0,∴将代入得④√由抛物线的对称性得知关于对称轴对称的点是。函数值等于的自变量是-3和5. 故答案选C二、取特殊值判断:已知抛物线经过点,其对称轴为直线,由抛物线的对称性,得到抛物线与横轴的另一个交点(3,0)。又由于抛物线开口向下,这样可令抛物线的解析式为 这样得到特殊值.开始验证:①,∴①√;②,∴②×;③,∴③√;④当时,∴得即解之得∴ 若抛物线经过点,则关于的一元二次方程的两根分别为,5.√.故答案选C 例2(2021恩施12.)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(﹣3,0),顶点是(﹣1,m),则以下结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③若y≥c,则x≤﹣2或x≥0;④b+c=m.其中正确的有( )个.A.1 B.2 C.3 D.4一、推理判断:①×abc<0②√如图,由对称性知,x=1时y=0,当x=2时,y>0∴将x=2代入函数关系式得4a+2b+c>0③√ 如图,由对称性知x=0或-2时,y=c∴由增减性知当y≥c时x≤﹣2或x≥0.④×由x=-1,y=m且x=1时,y=0 得a-b+c=m,a+b+c=0,两式相减得, 由得,代入a+b+c=0,得∴故答案选B二、取特殊值解图象与x轴交于(﹣3,0),顶点是(﹣1,m),由抛物线的对称性知另一交点为(1,0)又抛物线开口向上,可令抛物线解析式为这样得到特殊值,下面开始验证:①,∴①abc>0 ×②,∴②4a+2b+c>0 √③令解之得∴时,或.∴③若y≥c,则x≤﹣2或x≥0;√④∴④b+c=m, ×故答案选B.例3、(2021荆门)10.抛物线(a,b,c为常数)开口向下且过点,(),下列结论:①;②;③;④若方程有两个不相等的实数根,则.其中正确结论的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1一、推理判断:结合题意画出草图.由点A得,∴,;当x=-2时.①√将代入得<0∴②√将代入得③√当时,,又得④√二次函数与横轴的交点为,()∴二次函数解析式可写成,当y=1时,得方程由此方程有两个不相等的实数根,如图知抛物线顶点纵坐标大于1,∴,又∴故答案选A二、取特殊值解:开口向下且过点,(),取;令抛物线解析式为得到特殊值.下面开始验证:① ∴①√② ∴②√③ ∴③√④时,,方程有两个不相等的实数根。∴ ∴④√故答案选A例4、(2021黄石10.)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x…﹣1012…y…m22n…且当x=时,对应的函数值y<0.有以下结论:①abc>0;②m+n<﹣;③关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在﹣和0之间;④P1(t﹣1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上,则当实数t>时,y1>y2.其中正确的结论是( )A.①② B.②③ C.③④ D.②③④一、推理判断:根据x=0时y=2;x=1时y=2;x=时y<0画出草图.①×a<0, b>0, c>0∴abc<0②√当x=0时,y=2, ∴c=2由,得 a=-b 当时,y<0∴ 9a+6b<-8 ∴9a-6a<-8 ∴a<-由(-1,m),(2,n)关于对称轴对称,知m=n.∴ m+n=2m=2(a-b+2)=2(2a+2)=4(a+1)<4×(-+1)= - ∴ m+n<﹣③√ 由抛物线的对称性知,x=与x=关于对称轴对称,当时,y<0,则当时,y<0 . ∴方程ax2+bx+c=0的负实数根在﹣和0之间。④×P1(t﹣1,y1)和P2(t+1,y2)在对称轴两旁且到对称轴距离相等时y1 = y2 此时t+1-=-(t-1) t= ∴当t>时,故答案选B. 二、取特殊值解: 由表格信息知抛物线经过点(0,2)和(1,2)且当x=时,对应的函数值y<0,可设抛物线解析式为这样得到特殊值,下面开始验证:①, ∴①×②当时, 当时, ∴②√③解之得,∴③√④当时, 当时, ∴当y1>y2时,. ∴④×故答案选B.