人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课时练习

第一章　1.2　空间向量基本定理

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]已知{a,b,c}是空间的一个基底,下面向量中与向量a+c,a-c一起能构成空间的另外一个基底的是(　　)

A.a B.b+c

C.2a+c D.2a-c

2.[探究点二][北师大版教材习题]在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,已知BA,BC,BB'为三条不共面的线段,若=x+2y+3z,则x+y+z的值为(　　)

A.1 B. 

C. D.

3.[探究点四][2023浙江宁波期中]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,

∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,则体对角线BD1的长为　　　. 

4.[探究点二][人教B版教材习题]任作一个平行六面体ABCD-A'B'C'D',设=a,=b,=c,分别作出向量,使它等于如下向量:

(1)a+b;(2)a+b+c;(3)a+b+c.

5.[探究点三]已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB⊥AC1.

B级  关键能力提升练

6.[北师大版教材习题]已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外任意一点O,有,则A,B,C,M四点　　　　　.(填“共面”或“不共面”) 

7.在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　,线段EF的长度为　　　　. 

C级  学科素养创新练

8.[人教B版教材习题]已知向量可以构成空间向量的一个基底,则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一个基底?

答案：

1.B　∵(a+c)+(a-c)=2a,∴a+c,a-c,a共面,∴不能构成基底,∴A错误;

∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a+c,a-c,b+c不共面,

∴能构成基底,∴B正确;

∵(a+c)+(a-c)=2a+c,∴a+c,a-c,2a-c共面,∴不能构成基底,∴C错误;

∵(a+c)+(a-c)=2a-c,∴a+c,a-c,2a-c共面,∴不能构成基底,∴D错误.故选B.

2.B　因为=x+2y+3z,所以x=1,2y=1,3z=-1.

所以x=1,y=,z=-,所以x+y+z=.

3.　如图,,

∴=()2

=+2||||cos 60°+2||·||cos 120°+2||||cos 120°

=1+1+1+1-1-1=2,

∴体对角线BD1的长为.

4.解 如图,设M1是棱BC的中点,M2是体对角线AC'的中点,M3是上底面A'C'的中心,则

(1)=a+b.

(2)∵=a+b+c,

∴a+b+c.

(3)=c+=c+(a+b)=a+b+c.

5.证明 设=a,=b,=c,则=b+c.

所以=a·(b+c)=a·b+a·c.

因为AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,

所以a·b=0,a·c=0,

得=0,故AB⊥AC1.

6.共面　因为,

所以3,

所以,

即,

所以共面.

所以A,B,C,M四点共面.

7.a　设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=a2.

∴(a+b)-c,

∴a2+a·b-a·c=a2,||=a.

∴cos<>=,

∴异面直线EF与AB所成的角为.

8.解 若共面,则由共面向量定理知,存在x,y∈R,

使得=x()+y(),即(x+y-1)+(x-y)=0.

∵{}为一个基底,

∴不共线,∴解得

∴共面,不能构成另一个基底.

同理也共面,不能构成另一个基底.

若=x()+y(),

则 (x+y)+(x-y)=0.

∵{}是一个基底,

∴互不共线,∴此方程组无解,

∴可以构成空间向量的另一个基底.