人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示练习

第一章　1.3　空间向量及其运算的坐标表示

A级  必备知识基础练

1.[探究点二][2023河南郑州期中]已知向量a=(3 ,5,-1),b=(2,2,3),则向量2a-3b的坐标为(　　)

A.(0,4,-11) B.(12,16,7)

C.(0,16,-7) D.(12,16,-7)

2[探究点一](多选题)[2023黑龙江大庆月考]已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),那么以下说法中正确的是(　　)

A.=(-2,3,-3)

B.=(-4,6,-6)

C.线段AC的中点坐标为(-2,0,-1)

D.四边形ABCD是一个梯形

3.[探究点四]已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为(　　)

A.30° B.45° 

C.60° D.90°

4.[探究点四]若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=(　　)

A. B.2 

C.3 D.

5.[探究点三]如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(　　)

A.MN与CC1垂直

B.MN与AC垂直

C.MN与BD平行

D.MN与A1B1平行

6.[探究点二]已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=　　　　　. 

7.[探究点四][人教B版教材习题]已知AB,AC,AD为长方体的三条棱,且A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7),D(3,2,1),求长方体这三条棱的长和体对角线的长.

8.[探究点三][2023陕西西安检测]已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).

(1)若a∥c,求|c|;

(2)若b⊥c,求cos<a,c>的值.

B级  关键能力提升练

9.已知空间向量=(x,y,8),=(z,3,4),,且||=5,则实数z的值为(　　)

A.5 B.-5

C.5或-5 D.-10或10

10.已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1(不含端点)上.设=λ,若

∠APC为钝角,则实数λ的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

11.已知点E在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AA1B1B内(含边界),F是AA1的中点,若D1E⊥CF,则tan∠BCE的最小值为(　　)

A. B.-1

C.-1 D.

12.(多选题)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是(　　)

A.AB1与BC1成60°角

B.若,面A1MN交CD于点E,则CE=

C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于

D.E,F分别在棱DB1,A1C1上,且=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β=

13.如图,将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,的长为的长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为　　　　　. 

14.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.

15.[北师大版教材习题]已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.

(1)设|c|=3,c∥,求c的坐标;

(2)求a与 b的夹角;

(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.

C级  学科素养创新练

16.[2023广东广州期末]在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,得到四棱锥P-AEFG;第二步,将剩下的几何体沿平面ACF切开,得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中,为方便切割,需先在模型表面画出截面四边形AEFG,若,则的值为　　　　　. 

答案：

1.A　∵a=(3,5,-1),b=(2,2,3),

∴2a-3b=(6,10,-2)-(6,6,9)=(0,4,-11).故选A.

2.AD　∵A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),

∴=(-2,3,-3),=(4,-6,6),故A正确,B错误;

线段AC的中点坐标为,故C错误;

=-2,故共线,即AB∥CD,

=(0,-4,1),=(-2,-1,-2),不共线,即AD与BC不平行,故四边形ABCD为梯形.故选AD.

3.C　由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0),

因此cos<>=,

所以向量的夹角为60°.

4.D　∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),

∴a+b=(3,0,-1),

∴|a+b|=.故选D.

5.D　设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M,N,

∴=,=(0,0,1),

=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0).=0,∴MN⊥CC1,故A正确;

=0,∴MN⊥AC,故B正确;易知=2,且M,N∉BD,

∴MN∥BD,故C正确;设=λ,得无解,

∴MN与A1B1不平行,故D错误.

故选D.

6.-8　由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),

所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.

7.解 依题意得=(0,3,0),=(0,0,6),=(2,0,0),

故=(0,3,0)+(0,0,6)+(2,0,0)=(2,3,6),

所以棱长分别是AB=||=3,AC=||=6,AD=||=2,

体对角线的长为||==7.

8.解 (1)空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1),

因为a∥c,所以存在实数k,使得c=ka,

所以解得x=1,则|c|=.

(2)因为b⊥c,

则b·c=-x+0-2=0,解得x=-2,

所以c=(-2,2,-1),

故cos<a,c>=.

9.C　因为,所以存在λ∈R,使得=λ,

又||=5,而=(z-x,3-y,-4),

则

解得故选C.

10.C　由题设,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,

则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),

∴=(1,1,-1),则=(λ,λ,-λ),

∴=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),

=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).

∵∠APC为钝角,则cos∠APC<0,∴<0,

∴(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,解得<λ<1,∴λ的取值范围是.故选C.

11.A　由题得△BEC是直角三角形,在Rt△BEC中,tan∠BCE=,所以当EB取最小值时,tan∠BCE最小.设AA1=2,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(2,2,0),F(0,0,1),D1(0,2,2).设E(x,0,z),

所以=(-2,-2,1),=(x,-2,z-2),

因为D1E⊥CF,则=-2x+z+2=0,即2x-z-2=0.

取棱AB中点M,则E点的轨迹为线段B1M.

当BE⊥B1M时,BE最小,此时BE=,

所以tan∠BCE=.故选A.

12.ACD　如图,建立空间直角坐标系,

则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).

对于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2),

cos<>=,

∴AB1与BC1成60°角,故A正确;

对于B,∵,

∴N,设E(0,m,2),则=(-1,2,0),=,=(-2,m,2),

由已知得A1,M,N,E四点共面,

∴∃λ,μ∈R,使得=λ+μ,

得解得

∴E,∴=,||=,故B错误;

对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(1,y-2,z),=(2,2,-2),

由=2+2y-4-2z=0,得y-z=1,

∴点P的轨迹长为线段y-z=1(1≤y≤2)的长度,为,故C正确;

对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且=2,

∴×(2,2,-2)=,×(-2,2,0)=,

则E,F,则=,

则cos α=|cos<>|==1,

故α=0,

cos β=|cos<>|==0,

故β=,即α+β=,故D正确.故选ACD.

13.　以O为坐标原点,OA,OO1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,

则A(0,1,0),A1(0,1,1),B1,C.

所以=(0,0,1),=(0,-1,-1),

则=02+0×(-1)+1×(-1)=-1,

所以cos<>==-.

因此,异面直线B1C与AA1所成的角为.

14.解 (1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

所以cos<>=.

于是sin<>=.

故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为

S=||||sin<>=14×=7.

(2)设a=(x,y,z),由题意得

解得

故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

15.解 (1)=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),

c=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).

所以|c|==3|λ|=3,所以λ=±1,

所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).

(2)a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),

b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),

a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,

|a|=,|b|=,所以cos<a,b>==-.

因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π-arccos.

(3)由(ka+b)⊥(ka-2b)得(ka+b)·(ka-2b)=0,

所以k2a2-2ka·b+ka·b-2b2=0,所以2k2-k·(-1)-2×5=0,

所以2k2+k-10=0,所以k=2或k=-.

16.　建立如图所示空间直角坐标系.

设P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,-a,0),C(-a,0,0)(a,b均不为0),

则=(0,a,-b),=(-a,0,-b),=(0,-a,-b),=(a,0,-b),

所以=,=.

由题意A,E,F,G四点共面,则=x+y+z,其中x+y+z=1.

设=λ=(0,-aλ,-bλ),λ∈(0,1),

所以(a,0,-b)=x+y+z(0,-aλ,-bλ)

=.

由方程组解得λ=.