第11章 三角形 人教版八年级数学上册压轴题训练(含答案)

第11章 三角形 压轴题训练1．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．2．如图，在中，，D为射线上一点，过点D作于点E．(1)如图①，当点在线段上时，请直接写出与的数量关系；(2)如图②，当点在的延长线上时，交的延长线于点，探究与的数量关系，并说明理由；(3)在（）的条件下，若点为线段上一点，过点作于点，连接，且，，延长，交于点，求的度数．3．如图，直线MN的同侧放置着角度分别为45°、45°、90°的三角板OAB和角度分别为30°、60°、90°的三角板OCD．点A、O、C在直线MN上，点O、B、D三点共线，OA=OB=OC=3cm．(1)如图1，连接BC，则∠BCD=_________．(2)如图2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于点G，求四边形的面积．(3)如图3，三角板OAB绕着点O旋转，当ABMN时，AB与OD交于点H，在OA上取一点P，∠PHO的角平分线HQ与线段BO的延长线交于点Q，试探索∠AHP与∠HQB的数量关系，并说明理由．(4)如图4，若将图1中的三角板OAB绕着点O以每秒5°的速度顺时针旋转一周，当边OA或OB与边CD平行时，求旋转时间t的值．4．如图，已知ABCD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝ °，∠PFQ＝ °．（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．5．如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q．(1)若，则____________，____________；(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；(3)若，则____________，____________；（用含x的代数式表示）；(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．6．在平面直角坐标系中，，，直角三角形的边与轴分别相交于、两点，与直线分别交于、点，．(1)将直角三角形如图位置摆放，如果，则______；(2)将直角三角形如图位置摆放，为上一点，①若，请直接写出与之间的等量关系：______；②若，请判断与之间的等量关系，并说明理由．(3)将直角三角形如图位置摆放，若，延长交于点，点是射线上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论题中的所有角都大于小于：______．7．在中，(1)如图（1），、的平分线相交于点．①若，求的度数．②若，则_________．(2)如图（2），在中的外角平分线相交于点，，求的度数．(3)如图（3），的、的平分线相交于点，它们的外角平分线相交于点．请回答：与具有怎样的数量关系？并说明理由．8．（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是　　．（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是　　．（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．9．如图，，点A、分别在、上运动（不与点重合）．(1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．①若，则______；②猜想：的度数是否随A，的移动发生变化？并说明理由．(2)如图，若，，则______；(3)若将改为（如图3），，，其余条件不变，则______（用含，的代数式表示，其中）．10．（1）如图1，F是OC边上一点，求证：∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；（2）如图2，∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，点D、E在射线OA、OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F．设∠EDP＝x，若DE⊥OA，是否存在这样的x使得∠EFD＝3∠EDF？若存在，求出x；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若射线DA绕点D顺时针旋转至DO后立即回转，射线EO绕点E顺时针旋转至ED停止，射线DA转动的速度是4.5°/s，射线EO转动的速度是1°/s．若射线DA先旋转2s，射线EO才开始绕点E顺时针旋转，在射线EO到达ED之前，射线EO旋转到第________s时，射线DA与射线EO互相平行．11．已知AD∥BC，∠ADB＝28°，点E在直线BD上，点F在射线BC上，E不与B、D重合，F不与B、C重合．(1)如图1，当点E在线段BD的延长线上，点F在线段BC上时，连EF，求证：∠EFB＋∠DEF＝152°；(2)如图2，当点E在直线DB上运动，点F在线段BC上时，连EF，探究∠EFB与∠DEF之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在线段BD延长线上，点Q在线段BC延长线上，点F在射线BC上，且点Q在点F的右侧时，直线DP平分∠ADE，直线FP平分∠EFQ，DP、FP交于点P，直接写出∠DEF和∠DPF的关系．12．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动．　　(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F= ；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小也不发生变化，其大小为∠CED= .(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF= ；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．13．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．(1)求证：ABCD；(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．14．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P =(∠B+∠D)=26°．①【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由． ②【拓展延伸】在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由． 15．如图1，在平面直角坐标系中，，过C作轴于B．(1)如图1，则三角形的面积_____________；(2)如图2，若过B作交y轴于D，则的度数为_____________；若分别平分，求的度数；(3)若线段与y轴交点M坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β．(1)如图1，若α＋β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由：(2)如图2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于点O．①当α＝70°，β＝150°时，则∠BOC＝_______；②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由．(3)如图3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝______．（用含α、β的代数式表示）．17．已知：直线，动点在直线上运动，探究，，之间的关系．(1)【问题发现】若，，求的度数．(2)【结论猜想】当点在线段上时，猜想，，三个角之间的数量关系，并说明理由．(3)【拓展延伸】若点在射线上或者在射线上时（不包括端点），试着探究，，之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由．18．中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，．初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________；(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；再探：如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由．19．如图，AB、CD被AC所截，，∠CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F．(1)当点P在点A的右侧时①若∠ACP＝36°，则此时CP是否平分∠ECF，请说明理由．②求∠ECF的度数．在点P运动过程中，直接写出∠APC与∠AFC之间的数量关系．20．已知，如图，ABCD，直线交于点，交于点点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．(1)如图，当时，______；(2)如图，猜想与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，在问的条件下，若，，过点作交的延长线于点将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值．参考答案：1．(1)(2)①，理由见解析；②；③【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；（1）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．（2），理由如下：①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴．②，理由如下：如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴；③，理由如下：如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，∴．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．2．(1)∠BAC=2∠EDC(2)∠BAC=2∠EDC，理由见解析(3)∠EKA=18°【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质，等角的余角相等解决问题即可；（2）作AM⊥BC于M，由（1）同理可证∠BAC=2∠EDC；（3）如图2中，设∠C=∠FAC=∠ABC=x，则∠BAF=∠BFA=2x，构建方程求出x即可解决问题．（1）如图1中，作AH⊥BC于H，∵，∴∠BAC=2∠CAH．∵DE⊥AC，∴∠AHC=∠DEC=90°，∴∠C+∠CAH=90°，∠C+∠CDE=90°，∴∠CAH=∠CDE，∴∠BAC=2∠EDC．（2）结论：∠BAC=2∠EDC．理由如下：如图2中，作AM⊥BC于M，∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAM．∵DE⊥AC，∴∠AMC=∠DEC=90°，∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠CDE=90°，∴∠CAM=∠CDE，∴∠BAC=2∠EDC．（3）∵∠AFG=∠CFG，FG⊥AC，∴∠FAC=∠C．设∠C=∠FAC=∠ABC=x，∴∠BAF=∠BFA=2x．在△BAF中，∠BAF+∠BFA+∠ABC=180°，∴2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠EAK=∠ABC+∠C=36°+36°=72°．∵KE⊥EC，∴∠E=90°，∴∠EKA=90°−∠EAK=18°．【点评】本题考查等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质等知识．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．(1)15(2)四边形的面积=(2+3) ×1=2.5；(3)∠AHP=2∠HQB；(4)旋转时间t的值为12或30或48或66秒．【分析】（1）求得∠OBC =∠BCO=45°，利用角的和差即可求解；（2）求得AO= GO=3-1=2(cm)，利用梯形面积公式即可求解；（3）由角平分线的定义得到并设∠PHQ=∠QHO=α，推出∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，消去α即可求解；（4）分四种情况讨论，画出图形，利用解方程的方法求解即可．（1）解：∵OA=OB=OC=3cm，∠AOB=∠BOC=90°，∠DCO=60°，∴∠OBC =∠BCO=45°，∴∠BCD=∠DCO-∠BCO=15°，故答案为：15；（2）解：∵=1cm，∠GAO=45°，∴AO= GO=3-1=2(cm)，∴四边形的面积=(2+3) ×1=2.5()；（3）解：∠AHP=2∠HQB，理由如下：∵HQ平分∠PHO，∴∠PHQ=∠QHO，设∠PHQ=∠QHO=α，∵ABMN，∴∠BOC=∠B=45°，∠AHO=∠HOC=90°，∴∠BOH=45°，∴∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°， ∴∠AHP+2α=2∠HQB+2α=90°，∴∠AHP=2∠HQB；（4）解：由题意得旋转的角度为5t，当OACD时，如图：∴∠AOD=∠D=30°，∠AON=90°-30°=60°，∴5t=60，解得：t=12(秒)；当OBCD时，如图：∴∠BOC=∠DCO=60°，∴∠AOC=90°-60°=30°，∴∠AON=180°-30°=150°，∴5t=150，解得：t=30(秒)；当OACD时，如图：∴∠AOC=∠DCO=60°，∴5t=180+60，解得：t=48(秒)；当OBCD时，如图：∴∠BON=∠DCO=60°，∴∠AON=90°-60°=30°，∴5t=360-30，解得：t=66(秒)；综上，当边OA或OB与边CD平行时，旋转时间t的值为12或30或48或66秒．【点评】本题目考查了平行线的性质，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键．掌握分类思想，注意不能漏解．4．（1）26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由见解析；（3）t=或或．【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，根据ABCD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；（2）类比（1）的方法过程，得出结果；（3）分为△的三边分别与平行，分别画出图形求解即可．【详解】解：（1）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，∵AB∥CD，∴∠PGQ=∠BPE=2α，∵PE⊥QE，∴∠QEH=QEG=90°，∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，∴∠EQH=∠EQC=45°+α，∵∠EQN=64°，∴∠EGQ=26°，∴∠BPE=26°．在△EQH和△PFH中，∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，即：90°+45°+α=α+∠PFH，∴∠PFH=135°，故答案为：26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，∵ABCD，∴∠PGQ=∠BPE=2α，∵∠GEQ=180°-∠PEQ，∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，∴∠HQE=∠EQC=90°+α-∠PEQ，在△EQH和△PFH中，∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，即：∠PEQ+90°+α-∠PEQ=α+∠PFQ∴2∠PFQ-∠PEQ=180°；（3）根据题意，需要分三种情况：∵∠APE=150°，∴∠BPE=30°，∵PF平分∠MPE，∴∠FPE=∠BPF=15°，由（2）得2∠PFQ-∠PEQ=180°，又∠PEQ=90°，∴∠PFQ =135°，∴∠HPF=45°，∴∠HPB=30°，由题意得∠=10t，则∠=30+10t，∠=5t，则∠=110-5t，设与AB的交点为I，则∠=∠，如图3（1），当时，∠=∠=∠， 110-5t=30+10t，∴t=，如图3（2），当时，∠=10t，则∠=30+10t，∴∠=∠-∠=90-（180-10t-30），同理∠=∠，∴90-（180-10t-30）=110-5t，∴t=，如图3（3），当时，∠=10t，则∠=5t-15，∴∠=∠，∴110-5t=10t-15，∴t=，综上所述：t=或或．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及其推论，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．5．(1)115，25(2)不发生变化，理由见解析(3)，(4)45°，60°，120°，135°【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（3）将（2）中换成，同理即可求解；（4）设，由（3）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于x的等式，解出x即可．（1）∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，．∵平分，∴．∴；∵，∴．∵CP平分，CQ平分， ∴，．∵，∴，即，∴．故答案为：115，25；（2）当的度数发生变化时，、的度数不发生变化理由如下：∵，∴．∵，∴，．∵平分，平分，∴，．∴．∴由（1）可知不变，∴．∴当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；（3）∵，∴．∵，∴，．∵平分，平分，∴，．∴．∴．由（1）可知不变，∴．故答案为：，；（4）设，由（3）可知，．∵，∴可分类讨论：①当时，∴，解得：，∴；②当时，∴，解得：，∴；③当时，∴， 解得：，∴；④当时，∴， 解得：，∴．综上可知或或或．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．6．(1)(2)①；②，见解析(3)或【分析】（1）过点作，可得轴，则，，结合，可得，即可得出答案．（2）①过点作轴，可得轴，则，，结合已知条件与邻补角的定义可得，根据，可得，结合，可得出答案．②由轴，可得，，结合已知条件与邻补角的定义可得，最后由，可得出答案．（3）当点在上时，或当点在线段的延长线上时，分别利用平行线的性质可得出答案．（1）解：过点作， ，，轴，轴，，，，，，，．故答案为：．（2）解：①过点作轴， 轴，，，，，，，，，，整理得．故答案为：．．理由如下：轴，，，，，，，．（3）解：当点在上时，过点作， ，，，，．当点在线段的延长线上时， ，，，，，．故答案为：或．【点评】本题考查平行线的判定与性质、角的计算及坐标与图形，能够添加恰当的辅助线是解答本题的关键．7．(1)①；②；(2)；(3)【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的意义，首先求出，进而求出，即可解决问题；②方法同①；（2）根据三角形的外角性质分别表示出和，再根据角平分线的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）由（1）得，由（2）可得，两式相加即可得到结论．（1）解：①∵∠A=64°，∴∠ABC+∠ACB=116°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，∴，∴，∴，②∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n° ，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，  ∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：∵外角和的平分线相交于点Q，∴∴，∵ ，∴，（3）解：由（1）得，由（2）可得，∴【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用三角形内角和定理、外角的性质是解答本题的关键．8．（1）125°（2）55°（3）35°【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解；（2）应用角平分线的性质，补角的概念即可求解；（3）综合（1）、（2）解题思路即可求解；【详解】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），＝×（180°﹣∠A）＝55°，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，故答案为：125°．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，＝180°+70°＝250°，∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB），＝125°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，故答案为：55°．（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACD＝∠A+∠ABC，∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），＝∠A＝35°，即∠P等于∠A的一半，答：∠P的度数是35°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．9．(1)①；②不随A，的移动发生变化，理由见解析(2)(3)【分析】（1）①先利用角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理可得，即可得到，利用角平分线的定义可得，即可求解；②设，证明过程与①类似；（2）设，解题过程与（1）类似；（3）与（1）（2）类似，设出的度数，再进行推导即可．（1）解：①，平分，，，，，是的平分线，，，，，故答案为：；②的度数不随，的移动发生变化，理由如下：设，平分，，，，，是的平分线，，，，，的度数不随，的移动发生变化；（2）解：设，，，，，，，，，，，，，故答案为：；（3）解：设，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查三角形内角和定理，列代数式，角的计算等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．10．（1）见解析；（2）存在，当x＝27°或18°时，∠EFD＝3∠EDF；（3）或．【分析】（1）根据三角形的内角和定理与平角的定义证明即可；（2）求出∠AOC＝18°，然后分情况讨论：①若DP在DE左侧，求出∠FED＝72°，根据三角形内角和定理可得x＋3x＋72°＝180°，解方程可得x的值；②若DP在DE右侧，求出∠DEO＝72°，根据三角形外角的性质可得x＋3x＝72°，解方程可得x的值；（3）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据平行线的性质，列方程求解即可．【详解】（1）证明：由三角形的内角和定理可得：∠OAF＋∠AOC＋∠AFO＝180°，∵∠AFC＋∠AFO＝180°，∴∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；（2）解：存在这样的x的值，使得∠EFD＝3∠EDF．∵∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝18°，分两种情况：①如图，若DP在DE左侧，∵DE⊥OA，∴∠FED＝90°−18°＝72°，∴x＋3x＋72°＝180°，解得x＝27°；②如图，若DP在DE右侧，∵DE⊥OA，∴∠DEO＝90°−18°＝72°，∵∠DEO＝∠EDF＋∠EFD，∴x＋3x＝72°，解得x＝18°；综上所述，当x＝27°或18°时，∠EFD＝3∠EDF；（3）解：分两种情况：①当射线DA向DO旋转时，如图，当时，∠1＝∠2，设射线EO旋转的时间为t秒，则∠1＝（72−t）°，∠2＝90−4.5（t＋2）＝（81－4.5t）°，∴72−t＝81－4.5t，解得t＝；②当射线DA由DO回转时，如图，当时，∠1＝∠2，设射线EO旋转时间为t秒，则∠1＝（72−t）°，∠2＝4.5（t＋2）−270＝（4.5t－261）°，∴72−t＝4.5t－261，解得t＝；综上，射线EO旋转到第或s时，射线DA与射线EO互相平行，故答案为：或．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，掌握三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键，另外在解题时注意分类讨论思想的运用．11．(1)见详解(2)当E点线段BD的延长线上时，∠EFB+∠DEF=152°；当E点在线段BD上（不含端点）时，∠DEF-∠EFB=28°；当E点在线段DB的延长线上时，∠DEF+∠EFB=28°，理由见详解(3)2∠DPF-∠DEF=180°，理由见详解【分析】（1）根据，可得∠ADB=∠DBF，再根据三角形内角和定理即可求证；（2）根据E点位置不同，分当E点线段BD的延长线上时、当E点在线段BD上（不含端点）时、当E点在线段DB的延长线上时，三种情况讨论，利用三角形的外角的定义与性质即可求解；（3）设DP交EF于点N，M点是PD延长线上的一点，延长DP交BQ于点G，根据DP平分∠ADE，可得∠ADM=∠EDM=76°，在根据，可得∠PGF=∠ADM，由PF平分∠EFQ，得到∠PFG=∠EFQ，再根据三角形的外角的定义与性质有∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，即可求解．（1）∵，∴∠ADB=∠DBF，∵∠ADB=28°，∴∠DBF=28°，∵∠DBF+∠EFB+∠DEF=180°，∴∠EFB+∠DEF=180°-∠DBF=180°-28°=152°，得证；（2）根据E点位置不同，∠EFB与∠DEF之间的数量关系也不同，当E点线段BD的延长线上时，∠EFB+∠DEF=152°；当E点在线段BD上（不含端点）时，∠DEF-∠EFB=28°；当E点在线段DB的延长线上时，∠DEF+∠EFB=28°，理由如下，分情况讨论，第一种情况，当E点线段BD的延长线上时，根据（1）的结果可知：∠EFB+∠DEF=152°；第二种情况，当E点在线段BD上（不含端点）时，如图，∵∠EFB+∠DBF=∠DEF，又∵∠DBF=28°，∴∠EFB+28°=∠DEF，∴∠DEF-∠EFB=28°，此时数量关系为：∠DEF-∠EFB=28°；第三种情况，当E点在线段DB的延长线上时，如图，∵∠EFB+∠DEF=∠DBF，又∵∠DBF=28°，∴∠EFB+∠DEF=∠DBF=28°，∴∠EFB+∠DEF=28°，此时数量关系为：∠DEF+∠EFB=28°；（3）2∠DPF-∠DEF=180°，理由如下，设DP交EF于点N，M点是PD延长线上的一点，延长DP交BQ于点G，如图，∵∠ADB=28°，∴∠ADE=180°-28°=152°，∵DP平分∠ADE，∴∠ADM=∠EDM=∠ADE=76°，∵，∴∠PGF=∠ADM=76°，∵PF平分∠EFQ，∴∠PFG=∠EFQ，∵∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠PGF=76°，∴∠DPF=76°+∠EFQ，∵∠DBF=28°，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，∴∠DPF=76°+∠EFQ=76°+(28°+∠DEF)，∴2∠DPF-∠DEF=180°，得证．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角定义及性质、角平分线的性质等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键．12．(1)不变，∠AEB＝135°；(2)45°，67.5°；(3)90°；∠ABO的度数为60°或45°．【分析】（1）先求出∠BAO＋∠ABO＝90°，结合角平分线的定义可得∠BAE＋∠ABE＝45°，再利用三角形的内角和定理可求解∠AEB的度数；（2）由平角的定义求出∠BAP＋∠ABM＝270°，利用角平分线的定义可求∠DAB＋∠ABC＝135°，利用三角形的内角和定理可求出∠F，然后根据四边形的内角和定理可得∠ADC＋∠BCD＝225°，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；（3）先求出∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，然后根据△AEF中，有一个角是另一个角的3倍分4种情况求解即可．（1）解：不变，∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＋∠BAO＋∠ABO＝180°，∴∠BAO＋∠ABO＝90°，∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE＋∠ABE＝45°，∵∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°；（2）∵∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠BAP＋∠ABM＝180°＋180°−90°＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠DAB＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠DAB＋∠ABC＝135°，∴∠F＝180°－∠DAB－∠ABC＝45°，又∵∠DAB＋∠ABC＋∠ADC＋∠BCD＝360°，∴∠ADC＋∠BCD＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE＝∠ADC，∠DCE＝∠BCD，∴∠CDE＋∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝180°－∠CDE－∠DCE＝67.5°，故答案为：45°，67.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠OAG，∵∠BAO＋∠OAG＝180°，∴∠EAO＋∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，∵OE平分∠BOQ，∴∠BOQ＝2∠EOQ，∵∠EOQ＝∠E＋∠OAE，∠BOQ＝∠ABO＋∠BAO，∴∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有4种情况：①∠EAF＝3∠E＝90°时，则∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F＝90°时，则∠F＝30°，∴∠E＝90°－30°＝60°，∴∠ABO＝120°，（不合题意，舍去）；③∠F＝3∠E时，∵∠E＋∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∴∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F时，∵∠E＋∠F＝90°，∴∠E＝67.5°，∴∠ABO＝135°，（不合题意，舍去）；综上，∠ABO的度数为60°或45°．故答案为：90°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，四边形的内角和问题，灵活运用三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°来求解角的度数是解题的关键．13．(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）设，，，，过作，过作，推出，根据平行线的性质得到，，得到，于是得到结论；（3）设，，，，根据平行线的性质得到，由三角形的外角的性质得到，根据平角的定义得到，于是得到结论．（1）解：，，，，；（2）解：设，，，，过作，过作，，，，，，，，，，，；（3）解：，，设，，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，四边形的内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是正确的识别图形．14．（1）见解析；（2）①26°，理由见解析；②∠P=α+β，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．（2）【问题探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题．【拓展延伸】由（1）的结论易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再将已知条件代入化简即可求解∠P．【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，∠C+∠D+∠CED=180°，∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）①解∶如图3，∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，∠P+∠PAB=∠B+∠4，又∠1=∠PAB，∴∠P+∠1=∠B+∠4，又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，又∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D∴∠P =(∠B+∠D)=26°②解：∠P=α+β．理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，∴∠P+∠CDB =∠C+∠CAB，①∠P+∠CAB=∠B+∠CDB，②①×2+②，得2∠P+∠CDB+∠P+∠CAB=2∠C+∠CAB+∠B+∠CDB，∴3∠P=2∠C+∠B∴∠P==α+β．【点评】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．15．(1)4；(2)90°，45°；(3)存在，或．【分析】（1）根据题意求出BC=2，AB=OA+OB=4，根据三角形面积公式即可求出三角形的面积为；（2）根据题意求出∠OBD+∠ODB=90°，根据得到∠OBD=∠BAC，即可得到；连接，得到，，，根据三角形内角和为180°和即可求出；（2）设P点坐标为，根据三角形和三角形的面积相等，得到，求出或，问题得解．（1）解：∵， 轴，∴BC=2，AB=OA+OB=4，∴三角形的面积为；故答案为：4（2）解：∵OB⊥OD，∴∠BOD=90°，∴∠OBD+∠ODB=90°，∵∴∠OBD=∠BAC，∴，故答案为：90°；连接，如图2， ∵，分别平分，，∴，，∴，∵，即，而，∴，∴；（3）解：存在．如图3，设P点坐标为，∵三角形和三角形的面积相等，∴，即，即∴或，∴P点坐标为或．【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，三角形的内角和，直角三角形两锐角互余等知识，综合性较强，难度较大，理解相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．16．(1)BMCN，理由见解析(2)①20°；②，理由见解析(3)【分析】（1）由α+β=180°先判断ABCD，根据平行线的性质得出∠DCE=∠ABC，再由角平分线的性质证得结论；（2）①根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD，根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；②根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；（3）根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可．（1）解：CNBM，理由如下：∵α+β=180°，∴ABCD，∴∠DCE=∠ABC，∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠CBM，∴CNBM；（2）解：①∵α=70°，β=150°，∴∠ABC+∠BCD=360°-70°-150°=140°，∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+140°-2y=180°，∴x-y=20°，∴∠BOC=20°．故答案为：20°；②∠BOC=，理由如下：∵四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，∴，∴∠BOC=；（3）解：∠BOC=，理由如下：∵四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠CBM=∠BOC+∠BCO，∠ECN=∠BCO，∴y=∠BOC+x，∴∠BOC=y-x，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，∴，∴∠BOC=．故答案为：∠BOC=．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．17．(1)60°；(2)∠DPC=∠ADP+∠PCB，理由见解析；(3)∠PCB=∠DPC+∠ADP；或∠ADP=∠DPC+∠PCB，图及理由见解析．【分析】（1）过P作，由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用两直线平行内错角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；（2）过P作，由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用两直线平行内错角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；（3）分别就两种情况画图2和图3，根据平行线的性质和外角的性质可得结论．（1）如图1，过P作，∵，∴，∴∠ADP=∠DPM，∠MPC=∠PCB，∴∠DPM+∠CPM=∠ADP+∠PCB，∴∠DPC=∠ADP+∠PCB，∵∠ADP=25°、∠BCP=35°，∴∠DPC=25°+35°=60°；（2）∠DPC=∠ADP+∠PCB，理由：过P作，如图1所示：∵，∴，∴∠ADP=∠DPM，∠MPC=∠PCB，∴∠DPM+∠CPM=∠ADP+∠PCB，∴∠DPC=∠ADP+∠PCB；（3）①当P在射线AE上运动时，如图2，∠PCB=∠DPC+∠ADP，理由：∵，∴∠PQA=∠PCB，∵∠PQA=∠DPC+∠ADP，∴∠PCB=∠DPC+∠ADP，②当点P在射线BF上运动时，如图3，∠ADP=∠DPC+∠PCB，理由：∵，∴∠ADP=∠DQC，∵∠DQC=∠DPC+∠PCB，∴∠ADP=∠DPC+∠PCB，故答案为：∠PCB=∠DPC+∠ADP；∠ADP=∠DPC+∠PCB．【点评】此题考查了平行线的判定与性质及外角的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．18．(1)；(2)；(3)；(4)，见解析．【分析】（1）连接，证明即可；（2）利用（1）中结论解答即可；（3）直接利用三角形的外角性质求解即可；（4）同样直接利用三角形的外角性质求解即可．（1）解：如图，连接，，，，，，，故答案为：；（2）解：由（1）可知，，故答案为：；（3）解：如图，，，，即，故答案为：；（4）解：，证明如下：如图，连接，，，，．【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角和性质，解题的关键是灵活运用所学求解．19．(1)①平分，理由见解析；②36°(2)当点P在点E的右侧时，；当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，；当点P、点E、点F均在点A的左侧时， ．【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠ACD=72°，再由CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，可得∠ACD=2∠ECF，再由∠ACP＝36°，可得∠PCF=∠PCE=18°，即可求解；②由①，即可求解；（2）分三种情况讨论：当点P在点E的右侧时，；当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时；当点P、点E、点F均在点A的左侧时，即可求解．（1）解：①CP平分∠ECF，理由如下：∵，∠CAB＝108°，∴∠ACD=180°-∠CAB=72°，∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠PCE，∠DCP=2∠PCF，∴∠ACD=2∠ECF，∴∠ECF=∠PCE+∠PCF=36°，∵∠ACP＝36°，∴∠ACE=∠PCE=18°，∴∠PCF=∠PCE=18°，即CP平分∠ECF；②由①得：∠ECF=36°；（2）解：当点P在点E的右侧时， ∵，∴∠AFC=∠DCF，∵CF平分∠DCP，∴∠DCF=∠PCF，∴∠PCF=∠AFC，∴∠APC=∠PCF+∠AFC=2∠AFC；当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时， ∵，∴∠DCF=∠AFC，∵CF平分∠DCP，∴∠DCF=∠PCF，∴∠PCF=∠AFC，∵∠APC+∠PCF+∠AFC=180°，∴；当点P、点E、点F均在点A的左侧时，如图，∵，∴∠DCF=∠PFC，∠PCD=180°-∠APC，∵CF平分∠DCP，∴∠PCF=∠DCF，∴∠PCF=∠PFC，∵∠PCF=∠AFC-∠APC，∴∠PFC=180°-∠AFC=∠AFC-∠APC，∴；综上所述，当点P在点E的右侧时，；当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，；当点P、点E、点F均在点A的左侧时， ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角和定理是解题的关键．20．(1)135°(2)；理由见解析(3)或或【分析】延长交于，设，交于点，设，则，根据AB∥CD可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和得出关系式，进一步得出结果；类比的方法过程，得出结果；分为的三边分别与平行，当PF'∥NM'时，与同的夹角锐角相等，从而列出方程求得结果，当PH'∥NM'时，同样的方法求得，当F'H'∥NM'时，此时，根据四边形内角和列出方程求得结果．（1）解：如图， 延长交于，设，交于点，设，则，∵AB∥CD，，，，，，在和中，，，，，即：，，故答案为：；（2）解：如图，延长交于，设，交于点，设，设，则，∵AB∥CD，，，，，在和中，，，，，即： ；（3）解：如图，当PF'∥NM'时， ，，如图，当PH'∥NM'时，，，如图，当F'H'∥NM'时，即，，，综上所述：或或．【点评】本题考查了平行线判定和性质，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．