人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程综合训练习题含答案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程综合训练习题含答案，共16页。
第三章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是(　　)
A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)
2.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为(　　)
A.2 B.22 C.4 D.42
3.已知双曲线x29-y2m=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为(　　)
A.13 B.10 C.213 D.25
4.已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,且PF2垂直于x轴,cos∠F1PF2=35,则椭圆的离心率为(　　)
A.12 B.35 C.22 D.2
5.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F1PF2 =90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=(　　)
A.3+7 B.9+7
C.10 D.16
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　　)
A.13 B.223
C.23 D.23
7.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(xb>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为(　　)

A.72,1 B.3,1
C.5,3 D.5,4
8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(　　)
A.a2=132 B.a2=13
C.b2=12 D.b2=2
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.当α∈π4,3π4时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是(　　)
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
10.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为x216-y29=1的是(　　)
A.离心率为54
B.双曲线过点5,94
C.渐近线方程为3x±4y=0
D.实轴长为4
11.[2023湖北武汉期末]已知抛物线E:y2=2x的焦点为F,直线AB,CD过焦点F分别交抛物线E于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中A,C位于x轴上方,且直线BC经过点14,0,记BC,AD的斜率分别为kBC,kAD,则下列结论正确的有(　　)
A.y1y2=-1 B.y2y4=2
C.y1y4=-2 D.kBCkAD=2
12.[2023河南驻马店期末]如图是由半圆和半椭圆组成,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的是(　　)

A.椭圆的离心率是22
B.点F关于直线y=12x的对称点在半圆上
C.△ABF面积的最大值是94(2+1)
D.线段AB长度的取值范围是(0,3+32)
三、填空题
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=　　　　. 
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,则满足条件e的取值范围是　　　　　　　. 
15.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为　　　　　　　　　,|AB|=　　　　. 

16.摆线是一类重要的曲线,许多机器零件的轮廓线都是摆线,摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时,动圆上点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线,产生了摆线族的大家庭,当基线是圆且动圆内切于定圆做无滑动的滚动时,切点P运动的轨迹就是内摆线.已知基线圆O的方程为x2+y2=R2(R>0),半径为1的动圆M内切于定圆O做无滑动的滚动,切点P的初始位置为(R,0).若R=4,则|PO|的最小值为　　　　;若R=2,且已知线段MP的中点N的轨迹为椭圆,则该椭圆的方程为　　　　　　　. 
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知A,B分别是双曲线x225-y220=1两条渐近线上的动点,且|AB|=25,O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB,求动点P的轨迹方程.

18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23,且过点P3,12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,求直线l的方程.

19.已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.

20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且点A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.

21.从椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围.

22.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),则称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为22,点(2,2)在C上.
(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1⊥l2,l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长|MN|为定值.

答案：
1.C　因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,
则该抛物线的焦点坐标是(2,0).故选C.
2.D　由椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2)可得λ=2,
即椭圆的方程为x22+y28=1,则a=22,
由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.
3.C　由题意得m3=23,∴m=4,
则双曲线的焦距为29+m=213.
4.A　∵PF2⊥x轴,∴|PF2|=b2a,|PF1|=2a-b2a.
由cos∠F1PF2=35,可得b2a2a-b2a=35,可得5b2=6a2-3b2,
∴6a2=8b2=8(a2-c2),∴2a2=8c2.
又e∈(0,1),解得e=ca=12.故选A.
5.A　由题意,不妨设点P是双曲线右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,
则12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,
∴a=3,c=4.∴b=c2-a2=7.
∴a+b=3+7.故选A.
6.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4.①
根据抛物线的定义得,
|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=223.
7.A　|OF2|=b2-c2=12,
|OF0|=c=3|OF2|=32,
∴b=1,∴a2=b2+c2=74,得a=72,即a=72,b=1.
8.C　由题意,知a2=b2+5,
因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,
双曲线的一条渐近线方程为y=2x,
联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,
所以直线截椭圆的弦长d=5×2a4-5a25a2-5=23a,解得a2=112,b2=12.
9.ACD　当α∈π4,3π4时,sin α∈22,1,cos α∈-22,22,
可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0),
也可以是双曲线(sin α>0,cos α0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故A正确;
如果双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2-8116b2=1,解得a=4,b=3,
所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故B正确;
如果渐近线方程为3x±4y=0,可得ba=34,a2+b2=25,解得a=4,b=3,
所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故C正确;
如果实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24-y221=1,故D错误.
故选ABC.
11.ACD　由抛物线E:y2=2x可得,抛物线的焦点F12,0,
设直线AB的方程为x=ty+12,
联立x=ty+12,y2=2x,整理可得y2-2ty-1=0,
所以y1y2=-1,故A正确;
同理可得y3y4=-1,
由直线BC经过点14,0,设N14,0,
则NC∥NB,
而NC=x3-14,y3,NB=x2-14,y2,所以x2-14y3=x3-14y2,
则y222-14y3=y322-14y2,
整理可得y2y32(y2-y3)+14(y2-y3)=0,
也即(y2-y3)y2y32+14=0,
因为y2≠y3,所以y2y3=-12,
又y1y2=-1,y3y4=-1,所以y1y4=-2,故C正确;
y2y4=y1y2y1y4=12,故B错误;
因为kBC=y3-y2x3-x2=y3-y2y32-y222=2y3+y2,同理kAD=2y1+y4,
则kBCkAD=y1+y4y3+y2=2×12×y1+y4y3+y2=2×y2y4×y1+y4y3+y2=2×y1y2+y2y4y3y4+y2y4=2×-1+y2y4-1+y2y4=2,故D正确.故选ACD.
12.ACD　由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0,x≥0),
则b=c=3,∴a2=18,a=32,
∴椭圆的方程为x218+y29=1(x≥0).
对于A,椭圆的离心率是e=ca=332=22,故A正确;
对于B,设F(3,0)关于直线y=12x的对称点为(m,n),m≠3,可得nm-3=-2且12n=12×3+m2,
解得m=95,n=125,即对称点为95,125,
又半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),
∴对称点95,125不在半圆上,故B错误;
对于C,由题得△ABF的面积S=12×|AB|t,
设A(x1,t),∴x12+t2=9,∴x1=-9-t2(0