人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用课堂检测

第五章学习单元7　三角函数的应用

5.7　三角函数的应用

A级 必备知识基础练

1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin2t+,s2=10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是(　　)

A.s1>s2 B.s1<s2

C.s1=s2 D.不能确定

2. 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为              (　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分钟,t的单位是分钟,则下列时间段中,车流量逐渐增加的是(　　)

A.[0,5] B.[5,10]

C.[10,15] D.[15,20]

4. 在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为              (　　)

A.x=sint-

B.x=3sint

C.x=sin3t+

D.x=3sint+

5.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),则在6≤x≤14时这段曲线的函数解析式是　　　　　　　　　　　.(不要求写定义域) 

6.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sint-+20(t∈[0,24]),求这一天的最低气温.

7.如图所示,某动物种群数量1月1日最低为700,7月1日最高为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.

(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式;(其中t以年初以来的月为计量单位)

(2)估计当年3月1日动物种群数量.

B级 关键能力提升练

8.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为(　　)

9.(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)

A.该质点的运动周期为0.8 s

B.该质点的振幅为5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大

D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零

10.[2023江苏无锡高一检测]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速转动过程中,筒车上一盛水筒M距离水面的高度H(单位:米)与转动时间t(单位:秒)满足函数关系式H=2sint+φ+,φ∈0,,且t=0时,盛水筒M与水面距离为2.25米.当筒车转动100秒后,求盛水筒M与水面的距离.

参考答案

学习单元7　三角函数的应用

5.7　三角函数的应用

1.C　当t=时,s1=5sin=5sin=-5,s2=10cos=10×-=-5,故s1=s2.

2.C　由题意可知当sinx+φ取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,∴y=3sinx+φ+5,当sinx+φ取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.

3.C　当10≤t≤15时,有π<5≤π,此时F(t)=50+4sin单调递增,即车流量在增加.故选C.

4.D　设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,x=3sint+.故选D.

5.y=10sinx++20　由图可知,A=×(30-10)=10,T=2×(14-6)=16,b=20,∴ω=.

∵点(10,20)在函数的图象上,

∴10sin×10+φ+20=20,即sin+φ=0,

则+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-,k∈Z.

∵|φ|<π,则φ=.

则这段曲线的函数解析式是y=10sinx++20.

6.解因为0≤t≤24,所以-t-,故当t-=-,即t=2时,函数取最小值-6+20=14,即最低气温为14 ℃.

7.解(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+bA>0,ω>0,|φ|≤,则

解得A=100,b=800.

周期T=2×(6-0)=12,∴ω=,

∴y=100sint+φ+800.

又当t=6时,y=900,

∴900=100sin×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,

∴sin φ=-1,

∴φ=-,即y=100sint-+800.

(2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750,

即当年3月1日动物种群数量约是750.

8.C　由题意可得f(x)=0≤f(x)≤,排除A,B,D,选项C满足函数的图象,故选C.

9.ABD　由图可得,半个周期为0.4 s,所以周期为0.8 s,A正确;平衡位置为x轴,最低点纵坐标是-5,故振幅为5 cm,B正确;当质点位于最高点或最低点时速度为零,故C错误,D正确.

10.解∵H=2sint+φ+,φ∈0,,

当t=0时,H=2sin φ+=2.25,则sin φ=.

∵φ∈0,,∴φ=.故H=2sint++.

∴当t=100时,盛水筒M与水面距离为H=2sin×100++=2×-+=0.25(米).