高中人教A版 (2019)1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题

第一章　1.1.2　空间向量的数量积运算

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.[探究点三]已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)

A.-6 B.6 C.3 D.-3

3.[探究点一][2023上海黄浦期中]正四面体O-ABC棱长为1,E为BC中点,则=(　　)

A.- B. C.- D.

4.[探究点二]已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　)

A.30° B.45° C.135° D.60°

5.[探究点一](多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(　　)

A. B.

C. D.

6.[探究点四]已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　. 

7.[探究点二][人教B版教材习题]已知a,b都是空间向量,且<a,b>=,求<2a,-3b>.

B级  关键能力提升练

8.若空间向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b≠0,则向量a与c的夹角为(　　)

A.0 B. C. D.

9.(多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(　　)

A.2 B.2

C.2 D.2

10.已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径,点P在正方体表面上运动,则的最大值为(　　)

A.4 B.12 C.8 D.6

11.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=　　　　　. 

12.[2023广东惠州期中]如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,设=a,=b,=c.

(1)用a,b,c表示,并求||;

(2)求.

C级  学科素养创新练

13.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(　　)

A.8 B.4 

C.2 D.1

答案：

1.A　由条件知p·q=0,p2=q2=1,

所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.

2.B　由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,

∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,

∴2k-12=0,∴k=6.

3.B　∵正四面体O-ABC棱长为1,E为BC中点,

∴)·()

=)

=×(1-1×1×cos 60°+1×1×cos 60°-1×1×cos 60°)

=×=,故选B.

4.B　∵a-b与a垂直,

∴(a-b)·a=0,

∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos<a,b>=1-1××cos<a,b>=0,∴cos<a,b>=.

∵0°≤<a,b>≤180°,∴<a,b>=45°.

5.BCD　因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故=0;

因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则=0;

同理可得=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.

6.10　∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,

∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)

=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c

=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>

=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,

∴|a+b+c|=10.

7.解 ∵2a·(-3b)=-6a·b=-6|a||b|cos<a,b>=-6|a||b|cos=-3|a||b|,

∴cos<2a,-3b>==-,∴<2a,-3b>=.

8.D　∵a·c=a·=a·a-a·b=0,∴a⊥c.故选D.

9.BC　2=2a2cos 120°=-a2,

2=2=2a2cos 60°=a2,

2=a2,

2=-=-a2.

10.C　设正方体内切球的球心为G,则GM=GN=2,

=()·()=·()+.

因为MN是正方体内切球的一条直径,

所以=0,=-4,

所以-4,

又点P在正方体表面上运动,所以当P为正方体顶点时,||最大,且最大值为2,

所以-4≤8,所以最大值为8.故选C.

11.　因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos 60°-4×cos 60°+2×cos 60°=3,所以|a-2b+c|=.

12.解 (1)∵=a,=b,=c,

∴=a+b+c.

∵底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,

∴||=

=

=.

(2)·()==2×1×-2×1×=0.

13.D　·()=,

∵AB⊥平面BP2P8P6,∴,

∴=0,

∴=||2=1,

则(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1.