数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时课堂检测

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第一章　第2课时　夹角问题A级  必备知识基础练1.[探究点一]已知点A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)A. B.- C. D.-2.[探究点三]已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°3.[探究点二]如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)A. B. C. D.4.[探究点二][北师大版教材习题]已知长方体ABCD-A'B'C'D'的一条对角线AC'与平面ABB'A'和平面ADD'A'所成的角都是,则直线AC'与平面ABCD所成的角是　　　　　.5.[探究点三][2023重庆渝中月考]如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,AB=,E为CD中点.(1)求证:CD⊥平面PAE;(2)若PA=,求二面角A-PB-E的余弦值. B级  关键能力提升练6.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为(　　)A.2 B. C. D.7.[2023辽宁鞍山月考]长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=AD=1,P为线段AD1上的动点,则PB1与平面BCC1B1所成角的余弦值的最小值为(　　)A. B. C. D.8.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB= 90°,OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为　　　　　.C级  学科素养创新练9.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶,则直线AF与CE所成角的余弦值为　　　　.  答案：1.A　=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos<>=,故直线AB和CD所成角的余弦值为.2.B　如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴=(0,1,0).取PD的中点E,则E,∴,易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<>=,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.3.D　如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),∴=(-2,0,1).连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,∴平面BB1D1D的一个法向量为a==(-2,2,0).∴所求角的正弦值为|cos<a,>|=.4.　建立如图所示空间直角坐标系,设AD=a,AB=b,AA'=c,=(a,b,c).因为n1=(1,0,0)是平面ABB'A'的一个法向量,n2=(0,1,0)是平面ADD'A'的一个法向量,所以|cos<,n1>|=|cos<,n2>|=sin,所以,所以a=b=c.设所求角为θ,取n3=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,则sin θ=|cos<,n3>|=.因为θ∈,所以θ=.5.(1)证明 连接AC,如图所示.在Rt△ABC中,AC==2,AC=AD,△ACD为等腰三角形,E为CD中点,∴CD⊥AE.又PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.又CD⊥AE,且PA∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.(2)解 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,0,0),P(0,0,),E,∴=(-,0,),=.又易知平面PAB的一个法向量m=(0,1,0),设平面PBE的一个法向量为n=(x,y,z),则取n=(,1,),设二面角A-PB-E的平面角为θ,则cos θ=,∴二面角A-PB-E的余弦值为.6.D　设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO,DO,因为∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,所以BO⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C,B,D,所以=,=,=.设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1).易知平面CDA的一个法向量为=,所以|cos<,n>|=.故选D.7.D　建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,2),P(a,0,2-2a)(0≤a≤1).∵CD⊥平面BCC1B1,∴平面BCC1B1的法向量为=(0,1,0).∵=(a-1,-1,-2a),设PB1与平面BCC1B1所成角为α,∴cos α====.∵5a2-2a+2=5,∴(cos α)min=.故选D.8.　以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0,0),B(0,2,0),A1(,1,),O1(0,1,),所以=(-,1,-),=(,-1,-).设所求的角为α,则cos α=,即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.9.　因为AE∶ED∶AD=1∶1∶,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以cos<>=,所以直线AF与CE所成角的余弦值为.