高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程随堂练习题

第二章　2.4.2　圆的一般方程

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　)

A.8π B.4π 

C.2π D.π

2.[探究点一](多选题)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,则直线x+ay+b=0一定经过(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.[探究点二]当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为(　　)

A.x2+y2-2x+4y=0

B.x2+y2+2x+4y=0

C.x2+y2+2x-4y=0

D.x2+y2-2x-4y=0

4.[探究点一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.[探究点一、二][2023北京房山期末]已知点A(-1,-3)是圆C:x2+y2-8x+ay=0上一点,给出下列结论:

①a=6;②圆C的圆心为(4,-3);③圆C的半径为25;④点(1,1)也是圆C上一点.

其中正确结论的序号是　　　　　. 

6.[探究点三]已知P是圆x2+y2=16上的动点,A(12,0),M为PA的中点,求点M的轨迹方程.

B级  关键能力提升练

7.(多选题)下列结论正确的是(　　)

A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程

B.圆的一般方程和标准方程可以互化

C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆

D.若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0

8.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0] 

C.[0,+∞) D.[5,+∞)

9.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线的中点的轨迹方程是(　　)

A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1

C.(2x-3)2+4y2=1 D.2+y2=

10.(多选题)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值可能为(　　)

A.2 B.0 

C. D.-2

C级  学科素养创新练

11.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.

(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;

(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.

答案：

1.C　原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,

∴半径r=,∴圆的面积为S=πr2=2π.

2.ABC　圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为,则a<0,b>0.直线x+ay+b=0化为y=-x-,则斜率k=->0,在y轴上的截距->0,所以直线一定经过第一、二、三象限,不经过第四象限.

3.C　直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0,由得C(-1,2),

故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.

4.D　因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,

又方程可化为+(y-a)2=-a2-3a,故圆心坐标为,r2=-a2-3a.

由r2>0,即-a2-3a>0,解得-4<a<0,

故该圆的圆心在第四象限.

5.①②④　由于点A(-1,-3)是圆C:x2+y2-8x+ay=0上一点,所以1+9+8-3a=0,a=6,①正确;圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25,故圆心为(4,-3),半径为5,②正确,③错误;(1-4)2+(1+3)2=25,所以点(1,1)也是圆C上一点,④正确.

6.解设M(x,y),∵A(12,0),M为PA的中点,

∴P(2x-12,2y).

∵P为圆x2+y2=16上的动点,

∴(2x-12)2+4y2=16,即(x-6)2+y2=4.

故所求轨迹方程为(x-6)2+y2=4.

7.ABD　A,B显然正确;C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0,所以表示点(1,-2);D正确.

8.A　圆x2+y2-4x+2y+a=0,即(x-2)2+(y+1)2=5-a,圆心(2,-1),半径r=.

∵圆与x轴、y轴都有公共点,∴解得a≤1.

9.C　设M(x0,y0)为圆上的动点,则有=1,

设线段MA的中点为P(x,y),则x=,y=,

则x0=2x-3,y0=2y,代入=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.

10.AB　圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,则a=0或a=2.

11.解(1)m=1,则圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)到直线的距离为,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,

所以x1+x2=,x1x2=.

因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=+4=0,所以m=,此时Δ>0.