人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算评课课件ppt

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人教A版2019高中数学选择性必修第一册1.1《空间向量及其运算》第二课时教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高史数学选择性必修策一册》第一课《空间向量与立体几何》，这节课主要学习空间向量及其运算。平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。【教学目标与核心素养】1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 【教学重点】重点：数量积的计算及其应用.【教学难点】难点：空间向量数量积性质、投影向量的理解与应用【教学方法】学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.【教学过程】一、复习导入：平面向量夹角、向量的数量积、投影向量向量的夹角、向量的数量积，则（）叫做向量与的夹角.当时，与同向当时，与同向当时，与垂直，记作 非零向量与的夹角为，叫做与的数量积投影向量与方向相同的单位向量为，与的夹角为，过点作的垂线，就是向量在向量上的投影向量.【设计意图】将即将学习的新知识与已经学习过的知识进行联系，降低学生的畏难情绪，调动学生的积极性，并且可以做到温故而知新。二、新课讲授新知探究1：空间向量的夹角教师：类比平面向量中所学，如何定义空间向量的夹角？【预设的答案】空间向量是自由向量，可以将两个向量平移到共起点的位置（动态演示空间向量平移过程）【定义】已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 = a， = b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 注：通常规定，0≤〈a，b〉≤π。这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉=〈b，a〉教师：取值范围是多少？如何定义空间向量的垂直？学生：学生根据已经学过的平面向量的夹角的定义与取值范围类比空间向量的夹角的定义与取值范围，并进行回答师生共同总结：1、当时，与同向2、当时，与反向3、当时，与垂直，记作 新知探究2：空间向量的数量积教师：类比平面向量数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算师生活动：1.学生自行思考并举手回答，相互补充。2.老师对于学生的回答进行提问，补充和引导。【设计意图】：让学生自行思考并回答出答案，加深学生对相关知识的思考与认识。(1)定义：已知两个非零向量a, b，则 |a|·|b|cos<a, b>叫做a, b的数量积，记作a·b.即a·b＝ |a|·|b|cos<a, b>.注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于0.即0·a＝0.教师：类比平面向量数量积的性质，空间向量数量积有哪些性质？学生自主思考，完成填空（1）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b =     （判断垂直关系）（2）a·a＝_____或|a|＝（求模长）（3）若a，b同向，则 a·b＝_______；若反向，则a·b＝_______.（4）|a·b| ____ |a|·|b|（5）若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______.【设计意图】平面向量中关于数量积的性质可以直接类比到空间向量中来，即可以巩固旧知，也让学生体会空间向量数量积定义与平面向量数量积定义的相通之处.新知探究3：空间向量的投影教师：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影师生活动：学生独立思考后，通过合作交流，得出结论.【设计意图】：明确问题，培养空间想象力.教师：下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(图1.1-11(2))．追问 : 你能用向量,向量表示出投影向量吗? 师生活动: 先让学生自主探究, 然后教师引导学生总结画投影的步骤: 空间向量是自由向量, 任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内, 因而空间向量的投影就是平面向量的投影. 进而在图 1(1) 中, 首先平移向量, 使表示向量的有向线段的起点与表示向量的有向线段 的起点重合, 画出这时它们确定的平面(图 1 (2)), 再在平面内画出向量向向量的投 影, 得到投影向量(图 1（3）).师生活动：教师引导学生类比平面向量的投影，得到空间向量向向量投影得到的投影向量c的表示：追问：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗？师生活动：学生独立完成后在课堂上展示、交流，最后教师总结.追问：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．新知探究4:空间向量的数量积运算律教师: 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？ 【预设的答案】结合律；交换律；分配律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b), λ∈R交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c追问：你能否证明上述运算律？【教师分析】证明前两条运算律，可以将向量a与向量b平移至同一个平面当中，则证明过程与平面向量中的证明方法无异；证明分配律时则涉及到三个不共面的向量.分配律的证明：,,,,教师：请同学们阅读教材第7页，思考回答以下问题：1.对于三个均不为0的数a，b，c，若a·b=a·c，则b=c。对于向量a，b，c由a·b=a·c，你能得到b=c吗?如果不能,请举出反例。2.对于三个均不为0的数a，b，c，若a·b=c，则a=(或b=)。对于向量a，b，若a·b=k,能不能写成a=(或b=)的形式?3.对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab)c =a(bc)。对于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)成立吗?为什么?师生活动：1.学生先自行思考，然后再小组讨论。2.教师巡视并与学生进行交流沟通。师生共同分析：思考1：设是非零向量，且，求证： 思考2：不可以思考3：不成立【设计意图】：让学生们进一步探究数量积的定义与易错点。深化对数量积的理解。【例题精讲】：阅读领悟课本例2、例3（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）例2如图1.1-12, 在平行六面体中，,.求：（1）；（2）的长. (精确到0.1). 解：（1）（2）所以例3如图1.1-13，是平面内的两条相交直 线，如果求证：.证明：在平面内作任意一 条直线，分别在直线上取非零向量.因为直线与相交，所以向量不平行.由向量 共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对,使所以因为所以. 所以.因此，直线垂直于平面内的任意一条直线， 所以.【课堂检测】1、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）.向量与的夹角等于向量与的夹角.(　　)（2）.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)（3）.对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　　)（4）.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　)              答案：（1）× ，（2）√ （3）× （4）√2.在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中真命题的个数是(   )A.1 B.2 C.3 D.10解析：根据向量数量积的定义，知①②为真命题；与的夹角为，③为假命题.故选B.3.已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是(　　)A．垂直　　　　　　　  B．共线C．不垂直  D．以上都可能答案：A4.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于(　　)A．30°   B．60°C．90°   D．120°答案：D5.【多选题】已知四边形ABCD是矩形(非正方形)，PA⊥平面ABCD，则以下等式可能成立的是(　　)A.·＝0   B.·＝0C.·＝0   D.·＝0答案：ACD【课后小结】1、空间向量的概念2、空间向量的加法、减法、数乘运算3、共线向量（平行向量）的概念及空间向量共线的充要条件及其应用4、共面向量的概念及空间向量共面的充要条件及其应用.【板书设计】                 【课后作业】课本P9-P10的习题1.1【教学反思】优点：1、复习导入，新旧知识链接，学生更容易接受本节课内容2、启发式教学方法，把教和学各种方法结合在一起，以求获得最佳效果3、注重数学思维培养，让学生在探索知识的过程中，领会各种数学思想。教学反思：1.教学实践中，对于已有知识基础的学习，应该让学生学会自主学习，让学生大胆的讨论交流，认真总结以提升对数学学习的兴趣;2.合理利用教材、教师用书、做好引入与探究，尽量做到对知识的来龙去脉要讲清楚;3.教师要从学情出发，从整体出发，因材施教，要将课堂还给学生，学会适当的放手，教师要起到引领的作用;4.引导学生自我突破，真正地实现培养与发展学生的思维能力.