2023年江苏省丹阳市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年江苏省丹阳市中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省丹阳市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题
1．的倒数等于_____．
2．使分式有意义的x的取值范围是_________．
3．分解因式：____．
4．已知一组数据的最大值是256，最小值是200，画频数分布直方图时，若设定组距为6，则这组数据应分成____组．
5．如图，直线，有一个含的直角三角板的直角顶点A在直线上，若边与直线的夹角，则边与直线的夹角____．
  
6．已知圆锥的底面圆半径为2，其母线长为6，则圆锥的侧面积等于________．
7．如图，内接于，是的直径，，则___________．

8．二次函数的图像与x轴只有一个交点，则_____．
9．如图，某商场自动扶梯长为15米，若扶梯顶端B到地面距离是7.5米，则该扶梯的坡度是_____．
  
10．如图，在矩形中，若，，，则的长为________．

11．如图，在中，，点A是函数的图像上一点，点B是第四象限内的点，则的最小值为______．（用含m的代数式表示）
  
12．如图，分别以的边和向外作等腰和等腰，点M、N分别是、中点，若，则四边形的面积为____．
  

二、单选题
13．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
14．2023年“五一”假期前四天，江苏文旅消费总额达9962000000元，占全国的，排名全国第一，其中9962000000可用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
15．小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为（    ）
A． B． C． D．
16．一次函数的函数值随的增大而减小，它的图象不经过的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图，，把平行四边形绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
18．己知二次函数，点是其图象上两点，下列判断正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

三、解答题
19．（1）计算：
（2）化简：
20．（1）解方程：
（2）解不等式组
21．小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮．
  
(1)当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能亮起来的概率是____；
(2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
22．为宣传月日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
表知识竞赛成绩分组统计表
组别
分数/分
频数












  (1)本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩；
(2)表中 ；
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 ；
(4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到分以上（含分）的学生约有 人．
23．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．

24．学校组织七年级和八年级学生去公园进行研学活动．如图所示，公园有东、西两个入口，入口A在入口B的正西方向，七年级学生从入口A处出发，沿北偏东方向前往游乐场D处；八年级从入口B处出发，沿正北方向行走150米到达C处，再沿北偏西方向前往游乐场D处与七年级汇合，若两个年级所走的路程相同，求公园入口A与游乐场D之间的距离（结果保留整数，参考数据：）．
  
25．一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数过点A．
  
(1)求a与k的值；
(2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，C为圆O上一点，E为直径延长线上一点，连接．
  
(1)在圆O上求作一点D（直径下方），使（用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若DB的延长线交CE于点F，且．
①求证：CE是圆O的切线；
②若，求的值．
27．【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正方形的边长为6，E为对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，过E作交于点G，探索线段、有何数量关系？

（1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，过点E分别作、的垂线、，证明，发现和的数量关系是_________．
【问题探究】
该小组小丽同学受此问题启发，对上面的问题进行了探究，并提出了如下问题：
（2）如图2，过点G作交AC于点F，的长度是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
【深度探究】
如图3，连接交于点H．
（3）图中的面积S的取值范围为_________；
（4）若，则的长是_________．
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．

(1)二次函数图像的对称轴为直线．
①求二次函数的表达式；
②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；
③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值；
(2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．

参考答案：
1．2023
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【详解】解：的倒数是2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2．x≠1
【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1.
故答案为：x≠1．
3．/
【分析】直接用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查用公式法分解因式，熟练掌握用公式法分解因式是解题关键．
4．10
【分析】用极差除以组距，如果商是整数，组数=这个整数加1，如果商不是整数，用去尾进一法，确定组数．
【详解】解：∵，
∴分成的组数是10组，
故答案为：10．
【点睛】本题考查频数分布直方图、组距、极差，组数之间的关系等知识，掌握组数的定义是本题的关键，即数据分成的组的个数称为组数．
5．40
【分析】延长交于点，由题意可得，，利用平角的定义求得，，利用三角形内角和定理求得，由平行线的性质即可得到．
【详解】解：如图，延长交于点，
  
由题意可得，，，
，
，
，
在中，，
∵，
．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
6．12π
【分析】直接根据圆锥的侧面积底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解．
【详解】∵圆锥的底面圆半径为，母线长为
∴圆锥的侧面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解．
7．
【分析】根据是的直径，则，从而有,从而求得，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
8．1
【分析】根据二次函数的图像与x轴只有一个交点，得，求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴只有一个交点，
∴，即，
解得：
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，熟练掌握“二次函数与x轴有两个交点，则；二次函数与x轴只有一个交点，则；二次函数与x轴无交点，则”是解题的关键．
9．
【分析】根据题意和勾股定理可以求得的长，从而可以解答本题．
【详解】如图所示，过点B作，
  
∵自动扶梯长为15米，若扶梯顶端B到地面距离是7.5米，
∴，
该扶梯的坡度是．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
10．2
【分析】根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
在中，．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
11．
【分析】根据正切的意义得到，则，求得的最小值，即可求得的最小值．
【详解】解：在中，，
，
当取得最小值时，的值最小，
当点在直线上时，最小，
设，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得的最小值是解题的关键．
12．24
【分析】连接，交于点，根据三角形中位线定理可得，然后证明，可得，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，交于点，交于G，
  
点、分别是、中点，，
，
在等腰和等腰，，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，  
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积，三角形中位线定理，解决本题的关键是得到．
13．C
【详解】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，
故选C．
14．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
15．A
【分析】掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果，正面或反面朝上，每种结果等可能出现，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴她第11次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．
故选：A．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．本题需要注意的理解概率的定义，不一定是次数越多概率越大．
16．C
【分析】根据一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，可以得到k的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，b＞0，
∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
17．D
【分析】根据题意，画出图形，根据直角三角形的性质，即可求出点的坐标．
【详解】解：如图：作轴于点，

四边形是平行四边形，
，
把平行四边形绕点逆时针旋转，使点落在轴正半轴上，
，，，
，
，
，
，
旋转后点的对应点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质、坐标与图形的变换旋转的性质以及勾股定理的应用是解题的关键．
18．D
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线及抛物线开口方向，再通过判断点与点到对称轴的距离求解．
【详解】解：，
抛物线对称轴为直线，开口向上，
当时，点，，，关于抛物线对称轴对称，即，
当时，点、在对称轴右侧或分别在对称轴两侧，∵，∴点到抛物线对称轴的距离小于点到抛物线对称轴的距离，
，
当时，点、在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，∵，∴点到抛物线对称轴的距离大于点到抛物线对称轴的距离，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用二次函数的性质比较函数值大小，解题关键是掌握二次函数图象性质．
19．（1）；（2）x
【分析】（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算即可．
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）


；
（2）



．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质是解题的关键．
20．（1）
（2）
【分析】（1）先去分母将分式方程化成整式方程求解，再检验即可求解；
（2）先分别求出每一个不等式和解集，再根据“大大取大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可．
【详解】解：（1）方程两边同时乘以，得
，
化简整，得，
∴，
检验：把代入，得，
∴原方程的解为：．
（2），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查解分式方程与解不等式组，熟练掌握解分式方程方法和确定不待式组解集原则是解题的关键．注意解分式方程要验根．
21．(1)
(2)

【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图分析所有结果总数与闭合开关和或和的结果数，再用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：，
答：小灯泡能亮起来的概率是．
（2）解：画树状图如下 ：
  
由图可知，所有可能发生的结果共有12种，能使灯泡亮的共有4种，所以小灯泡能亮起来的概率为．
答：小灯泡能亮起来的概率为．
【点睛】本题考查用概率公式和用画树状图可列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
22．(1)50
(2)8
(3)C
(4)320

【分析】（1）从两个统计图可得，“组”的有18人，占调查人数的，可求出调查人数；
（2）用总数减去其他组的人数得到“组”人数，得出答案：
（3）根据中位数的意义，找出处在第25、26位两个数的平均数即可；
（4）利用样本估计总体，求出样本中竞赛成绩达到80分以上（含80分）所占的百分比，再乘以500即可．
【详解】（1）本次调查一共随机抽取学生：人，
故答案为；
（2），
故答案为；
（3）本次调查一共随机抽取名学生，第25、26位两个数都在C组，中位数落在组，
故答案为；
（4）该校九年级竞赛成绩达到分以上含分的学生有
人，
故答案为．
【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了中位数，利用样本估计总体．
23．（1）详见解析；（2）65°．
【分析】（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题．
（2）证明∠BAE=∠BCF=25°；求出∠ACB=45°，即可解决问题．
【详解】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=20°；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=65°．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键．
24．429米
【分析】过点D作于点E，过点C作于点G，设米，则米，在中，根据，求出，在中，根据，求出，列得，求出x即可．
【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点G，
  
由题意得，，，米，
设米，则米，
在中，，
∴，
∵， ，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴公园入口A与游乐场D之间的距离是429米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，正确作出辅助线构建直角三角形，并熟练掌握各三角函数的计算公式是解题的关键．
  
25．(1)，
(2)存在， 点D坐标为或

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）在轴上存在点，使得．分两种情况：当点在轴正半轴上时，当点在轴负半轴上时，分别求得点的坐标即可．
【详解】（1）解： 点在直线上，
，
，
反比例函数经过点，
，
解得：；
（2）解：在轴上存在点，使得．
当点在轴正半轴上时，如图，过点作轴交轴于点，
则，
此时点；
  
当点在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点，
，
，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，得出，利用设坐标表示出点是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)①见解析；②


【分析】（1）在顺次截取、，且使，则点D即为所作．
（2）①连接， 证明，得到，即可由切线的判定定理得出结论；
②设，则，，，由勾股定理，求得，根据，得，所以，从而求得，，继而求得，再由勾股定理，得，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点D即为所作，
  
连接，，
  
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①证明：连接，
  
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是圆O的半径，
∴是圆O的切线；
②∵是圆O的直径，
∴，，
∵，
设，
∴，，，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理，得，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦三角函数．此题属圆的综合题目，熟练掌握圆的相关性质定理及切线的判定定理是解题的关键．
27．（1）
（2）的长度不会发生变化，这个不变值为
（3）
（4）
【详解】解：（1）过点E分别作、的垂线、，

∵正方形，为对角线，
∴直线是平分，
∵于N，于M，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）的长度不会发生变化，理由如下：
过点B作于H，

∵正方形，为对角线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长度不会发生变化，这个不变值为；
（3）过点B作于点O，

由（2）知，
∵，，
∴，
∵，即，
∴；
（4）过点B作于O，过点G作交于点F，如图，

∵正方形，为对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．此题属四边形综合题目，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质．
28．(1)①；②；③
(2)m+n的值为定值3

【分析】（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；
②根据二次函数的对称性求解即可；
③设，求出直线的解析式，从而求出，即可求出的长与t的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；
（2）将代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数的性质设出直线的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．
【详解】（1）①由题意，
解得，
∴二次函数的解析式为．
②∵对称轴为直线，
∴；
③如图，

∵，
∴的表达式为
设，
∵轴
∴点P的纵坐标为
∴将代入得，
∴
∴
∴的最大值为；
（2）结论：的值为定值3．
理由：如图，

将代入二次函数解析式中，得

解得：
∴二次函数解析式为
∴，
设直线的解析式为，
把代入得到：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可以假设直线的解析式为，
由，消去y得到：，
∴，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴．
∴为定值，．
【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．