2023年广西壮族自治区中考数学真题（含解析）

2023年广西壮族自治区中考数学真题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若零下2摄氏度记为，则零上2摄氏度记为（    ）

A． B． C． D．

2．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

3．若分式有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

5．在数轴上表示正确的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

6．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果，那么的度数是（    ）

A． B． C． D．

8．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ）

A． B．

C． D．

10．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）

A． B． C． D．

11．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题

13．化简：______．

14．分解因式：a2 + 5a =________________.

15．函数的图象经过点，则______．

16．某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是______．

17．如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，）

18．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______．

三、解答题

19．计算：．

20．解分式方程：．

21．如图，在中，，．

(1)在斜边上求作线段，使，连接；

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)若，求的长．

22．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下：

学生成绩统计表

  根据以上信息，解答下列问题：

(1)写出统计表中a，b，c的值；

(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；

(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．

23．如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．

(1)求证：是的切线；

(2)若的半径为4，，求的长．

24．如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．

(1)求证：；

(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；

(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．

25．【综合与实践】

有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．

【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】

目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．

任务一：确定l和a的值．

(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；

(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；

(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．

任务二：确定刻线的位置．

(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；

(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

26．【探究与证明】

折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．

【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．

请完成：

(1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；

(2)证明（1）中的猜想；

【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．

请完成：

(3)证明是的一条三等分线．

参考答案：

1．C

【分析】根据正负数的实际意义可进行求解．

【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为；

故选C．

【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．

2．A

【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解．

【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；

故选A．

【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．

3．A

【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．

【详解】解：由题意得：，

∴；

故选A．

【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．

4．D

【分析】根据圆周角定理的含义可得答案．

【详解】解：∵，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题的关键．

5．C

【分析】在数轴上表示不等式的解集，需要确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；确定“方向”：对边界点a而言，或向右画，或向左画．

【详解】解：在数轴上表示为：

故选：C．

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知表示的方法是解题的关键．

6．D

【分析】根据方差可进行求解．

【详解】解：由题意得：；

∴成绩最稳定的是丁；

故选D．

【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键．

7．D

【分析】根据题意得到，即可得到．

【详解】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，

∴，

∴．

故选：D

【点睛】本题考查了平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，熟知平行线的性质定理，根据题意得到是解题关键．

8．B

【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方进行计算即可．

【详解】A. ，故该选项不符合题意；

B. ，故该选项符合题意；

C. ，故该选项不符合题意；

D. ，故该选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．

9．A

【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．

【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．

10．B

【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．

【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，

，

是半径，且，

，

在中，，

，

解得：，

故选B

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．

11．B

【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．

【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，

根据题意得，．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．

12．C

【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得．

【详解】设，则，，

∵点A在的图象上

则，

同理∵B，D两点在的图象上，

则

故，

又∵，

即，

故，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

13．3

【分析】根据算术平方根的概念求解即可．

【详解】解：因为32=9，

所以=3．

故答案为：3．

【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方．

14．a(a+5)

【分析】提取公因式a进行分解即可．

【详解】a2+5a=a（a+5）．

故答案是：a（a+5）．

【点睛】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

15．1

【分析】把点代入函数解析式进行求解即可．

【详解】解：由题意可把点代入函数解析式得：，

解得：；

故答案为1．

【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．

16．/

【分析】根据概率公式，即可解答．

【详解】解：抽到的同学总共有5种等可能情况，

抽到男同学总共有2种可能情况，

故抽到男同学的概率是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟知概率公式是解题的关键．

17．21

【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．

【详解】解：∵是等腰三角形，且，

∴，

∵，

∴，

∴共需钢材约为；

故答案为21．

【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．

18．

【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．

【详解】如图所示，连接，

∵M，N分别是的中点，

∴是的中位线，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∴当最大时，最大，此时最大，

∵点E是上的动点，

∴当点E和点C重合时，最大，即的长度，

∴此时，

∴，

∴的最大值为．

故答案为：．

【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

19．6

【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．

【详解】

．

【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

20．

【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：

去分母得，

移项，合并得，

检验：当时，，

所以原分式方程的解为．

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

21．(1)图见详解

(2)

【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解；

（2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解．

【详解】（1）解：所作线段如图所示：

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，即点O为的中点，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．

22．(1)，，

(2)510人

(3)用中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势，表示了七，八年级学生成绩数据的中等水平．

【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可，根据合格率=合格人数÷总人数即可求得；

（2）根据八年级抽取人数的合格率进行求解即可；

（3）根据中位数和众数的特征进行说明即可．

【详解】（1）根据八年级的成绩分布可得：5分的有3人，6分的有2人，7分的有5人，8分的有4人，9分的有3人，10分的有3人，

故中位数是，

根据扇形统计图可得：5分的有人，6分的有人，7分的有人，8分的有人，9分的有人，10分的有人，

故众数是8，

合格人数为：人，

故合格率为：，

故，，．

（2）八年级学生成绩合格的人数为：人，

即若该校八年级有600名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有510人．

（3）根据中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势和七，八年级学生成绩数据的中等水平．

【点睛】本题考查了中位数，众数，合格率，用样本估计总体等，熟练掌握中位数和众数的定义是解题关键．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明；

（2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可．

【详解】（1）∵与相切于点A，

∴，

∵平分，，

∴，

∴是的切线；

（2）∵的半径为4，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，即，

∴．

【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

24．(1)见详解

(2)

(3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小

【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；

（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；

（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．

【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：

在等边中，，，

∴，

∴，

设的长为x，则，，

∴，

∴，

同理（1）可知，

∴，

∵的面积为y，

∴；

（3）解：由（2）可知：，

∴，对称轴为直线，

∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；

即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．

【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．

25．(1)

(2)

(3)

(4)

(5)相邻刻线间的距离为5厘米

【分析】（1）根据题意可直接进行求解；

（2）根据题意可直接代值求解；

（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；

（4）根据（3）可进行求解；

（5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解．

【详解】（1）解：由题意得：，

∴，

∴；

（2）解：由题意得：，

∴，

∴；

（3）解：由（1）（2）可得：，

解得：；

（4）解：由任务一可知：，

∴，

∴；

（5）解：由（4）可知，

∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；

∴相邻刻线间的距离为5厘米．

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．

26．(1)

(2)见详解

(3)见详解

【分析】（1）根据题意可进行求解；

（2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证；

（3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明．

【详解】（1）解：由题意可知；

（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，

∴，，

∴是等边三角形，

∵，，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∴；

（3）证明：连接，如图所示：

由折叠的性质可知：，，，

∵折痕，，

∴，

∵四边形为矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是的一条三等分线．

【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键．