2023年浙江省绍兴市上虞区一模数学试题（含解析）

2023年浙江省绍兴市上虞区一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．实数2，0，中，最小的数是（    ）

A．2 B．0 C． D．

2．根据全国第七次人口普查结果表明，2022年绍兴市常住人口总数约为，数字用科学记数法表示是（    ）

A． B． C． D．

3．由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（    ）

A． B． C． D．

4．在一个不透明的袋子里，装有3个红球，2个白球，1个黄球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率是（   ）

A． B． C． D．

5．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．如图，直线，分别与直线交于两点，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

7．已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（    ）

A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．

C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．

8．如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（    ）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

9．己知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．如图，边长为2的正六边形中，是边的中点，连接交于点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．分解因式：=____．

12．关于的不等式的解是________．

13．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺．

14．在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接．则的度数是________．

15．己知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰直角三角形，则的长为________．

16．如图，在矩形中，与交于点，交于点，且，则________．

三、解答题

17．（1）计算：．

（2）解方程组

18．总务处为合理配置学校的体育器材，委托体育教研组调查了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等五项体育活动的喜欢程度，体育教研组随机抽查了部分学生，对同学们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行问卷调查，并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图．

解答下列问题：

(1)填空：________%，这次问卷调查共抽取了________名学生进行调查．

(2)补全图2中的条形统计图．

(3)若全校共有1800名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？

19．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下的实验研究：在滴水的水龙头下以置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏内收集到的一组数据．

为了描述漏水量与漏水时间的关系，现有以下三种函数模型供选择：．

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式并画出这个函数的图象，

(2)当容器内水量显示的读数为时，求漏水时间．

(3)在这种漏水状态下，请你估算一天的漏水量．

20．如图，数学兴趣小组的几位同学在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．测得与的延长线交于点，同学们用测倾器测得山坡的坡度为（即）．

(1)求该建筑物的高度的长．

(2)求山坡上点处的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号的形式）．

21．如图，为的直径，是延长线上一点，且为的切线，为切点，连结．

(1)求的长（结果保留）．

(2)求证：为等腰三角形．

22．如图1，中，，，．为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连接．

(1)如图2，当时，求的长．

(2)当翻折得到的中有一边与垂直时，求的长．

23．在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．

(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．

(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．

24．如图1，菱形中，，，是边上一动点（不与点、重合）连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交直线于点、是的中点，连结、．

(1)填空：________；________．

(2)如图2，将题中条件“”改成“”，其余条件均不变，连结，猜想、、这三条线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．

(3)在（2）的条件下，连结．

①若动点运动到边的中点处时，求的面积；

②在动点的整个运动过程中，求面积的最大值．

参考答案：

1．C

【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．

【详解】解：，

最小的实数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．

2．B

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．

【详解】解：，

故选：B．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．B

【分析】根据题目中的图形，可以画出主视图，本题得以解决．

【详解】解：由图可得，

题目中图形的主视图是

故选：B．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是画出相应的图形．

4．C

【分析】根据概率公式计算，即可求解．

【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球为白球的概率是．

故选：C．

【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．

5．B

【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．

【详解】解：，故选项A错误，不符合题意；

，故选项B正确，符合题意；

，故选项C错误，不符合题意；

，故选项D错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

6．D

【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出从．

【详解】解：如图，

，

，

又，

，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

7．C

【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．

【详解】解：二次方程的两根为和5，

，

解得，

二次函数，

，

当时，有最小值，最小值为，

故选：C．

【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．

8．B

【分析】根据对称中心的定义，菱形的性质，可得四边形形状的变化情况．

【详解】解：∵四边形是菱形，点O为对称中心，

∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形．

故选：B．

【点睛】本题考查了中心对称、菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键．

9．D

【分析】根据一次函数图象的性质，函数值随自变量的变化而变化的规律判断选项的正误．

【详解】解：，

，

一次函数的图象如图，

若，则或，A选项错误，不合题意；

若，则或，B选项错误，不合题意；

若，则或，C选项错误，不合题意；

若，则，D选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特点，解题的关键是掌握一次函数图象的性质．

10．A

【分析】连接、，根据正六边形的性质可得出是三角形的中位线，进而得到，由正六边形的性质可求出，，利用相似三角形的判定和性质，得出，进而得出，求出三角形的面积即可．

【详解】解：如图，连接，交于，交于，

由正六边形的对称性可知，，， ，

，

是的中位线，

，

点是的中点，

，

六边形是正六边形，

，，

，，

，

∵，

，

，

，

，

，

故选：A．

【点睛】此题考查的是正多边形和圆，正六边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提，求出是解决问题的关键．

11．．

【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．

12．/

【分析】不等式去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解．

【详解】解：，

，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

13．8

【分析】先设绳长x尺，由题意列出方程，然后根据绳长即可求出井深．

【详解】解：设绳长x尺，

由题意得x-4=x-1，

解得x=36，

井深：×36-4=8（尺），

故答案为：8．

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．

14．或

【分析】分两种情况，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．

【详解】解：以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点或，

，

，

，，

，

，，

，

，

，

，

．

的度数是或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．

15．或

【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．

【详解】解：当时，此时；

在函数上，

，

，

即，

；

当时，此时；

在函数上，

，

，

即，

，

当时，点落在轴上，故不合题意，

综上所述，的长为或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．

16．

【分析】先通过作辅助线构造一条和相等的线段，再构造三角形相似，利用相似三角形的性质求出线段的长，最后利用勾股定理求出的长度．

【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，

在矩形中，，，，，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得，

，

在中，．

．

故答案为：．

【点睛】本题综合考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．

17．（1）1；（2）

【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；

（2）②①得出，求出，再把代入①求出即可．

【详解】解：（1）

；

（2），

②①，得，

解得：，

把代入①，得，

解得：，

所以方程组的解．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键．

18．(1)20，50

(2)见解析

(3)432名

【分析】（1）由扇形统计图的知识，可求得的值，继而求得抽取了的学生数，

（2）总数减去其它即可得乒乓球人数，可补全条形统计图；

（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．

【详解】（1）解：，

，

喜欢跳绳的占，有4人，

（名），

共抽取了50名学生；

故答案为：20，50；

（2）喜欢乒乓球的：（名），

条形统计图如图所示；

（3），

该校约有432名学生喜爱打篮球．

【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．

19．(1)，画图见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先设出与的一次函数关系式，用待定系数法求出、即可；

（2）把代入（1）中解析式即可；

（3）根据题意列式计算即可．

【详解】（1）解：设，

将，代入得：

，

解得：，

，

描点并画图象如图所示；

（2）当时，，

解得，

故当容器内水量显示的读数为时，漏水时间为；

（3），

当时，

，

故在这种漏水状态下，可估算一天的漏水量为．

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，关键是对知识的掌握与运用．

20．(1)

(2)

【分析】（1）直接利用正切函数的定义列式求值即可；

（2）过点作于点，过点作于点．设，利用三角函数关系设法用表示和，再利用列方程求解即可．

【详解】（1）解：在中，

，，

，

即，

．

答：该建筑物的高度的长为．

（2）如图，过点作于点，过点作于点．

设．

在中，

，

，，

又，

，

，

即，

解得：．

山坡上点处的铅直高度为．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数关系求值，或列方程求解．

21．(1)；

(2)证明见解析；

【分析】（1）根据切线的性质及圆的基本性质得到，，再利用弧长公式即可解答；

（2）利用圆周角的性质得到，再根据等腰三角形的判定即可解答．

【详解】（1）解：连接，

∵是的切线，

∴，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的长为；

（2）证明：∵，，

∴，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰三角形．

【点睛】本题考查了切线的性质，圆的基本性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，弧长公式，圆周角定理，掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键．

22．(1)

(2)或或

【分析】（1）当时，由勾股定理求出的长，在中，，在中，，求出的长，再由，，即可求出的长；

（2）当于时，在中，，和的长，由折叠性质得的长，在中，利用勾股定理得出的长，当时，过点作于，由（2）可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长．

【详解】（1）解：如图，当时，

在中，，

，

，

，

在中，，

，，

在中，，

，

，

由折叠性质可知，

又，

；

（2）当时，由（1）可知，

当于时，如图，

在中，，

，，

，，

又，

，

由折叠性质可知，，

又，

，

在中，，

，

，

；

当时，如图

过点作于，由（2）可知，，

由折叠性质可知，，

又

，

又，

，

，

，

又，

，

又，

，

又，

，

在中，，

，

，

，

的长可能为或或．

【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及勾股定理，折叠的性质，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．

23．(1)，；

(2)，；

(3)．

【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；

（2）根据二次函数与轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；

（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．

【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，

∴二次函数的对称轴为，，

∵该函数的最大值为，

∴该函数的顶点坐标为，

∴，

∴由①②可得：，

∴函数表达式为：；

（2）解：∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，

∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，

∴，，

∴由①②可得（舍去），，

∴，；

（3）解：由（2）可得的解析式为：，

∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，

∴，

∴当时，，

∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，

∴，随的增大而增大，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．

24．(1)，

(2)猜想：，证明见详解

(3)①②

【分析】（1）由是关于的对称点，可得沿翻折后可得到，可求，，进而可求解；

（2）过作，交的延长线于， 在中，可求，再证，即可得证；

（3）连接交于，连接，可证、、、四点共圆，为圆心，在上，再证，可求，，从而可求，在中，，即可求解；②过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，可得，当取最大时，最大，所以当与重合时，即，最大，即可求解.

【详解】（1）解：四边形是菱形，

，，

是关于的对称点，

沿翻折后可得到，

，，

，

是的中点，

，

，

．

故答案：，．

（2）结论：，

证明：如图，过作，交的延长线于，

，

四边形是菱形，，

四边形是正方形，

，

，

由（1）得：，

，，  

，

，

，

，

在中，，

；

，  

，

，

在和中

，

（），

，

．

（3）解：①如图，连接交于，连接，

由（2）得：，

，

、、、四点共圆，为圆心，

四边形是正方形，

，

在上，

，

是的中点，

，  

，

，，

，

，

，

，，

，

，

，  

由（2）得：，

，

，

，

在中，，

，

，，

由（1）折叠得：，

．

②如图，过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，

，

，

，

当取最大时，最大，

如图，当与重合时，即，最大，

，

，

，

，

故面积的最大值为.

【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定及性质，对称和折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．