湖北省孝感市重点高中2022-2023学年高二下学期期中数学试卷（含答案）

湖北省孝感市重点高中2022-2023学年高二下学期期中数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、椭圆的长轴长为(   )

A.1 B. C.2 D.

2、3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是(   )

A. B. C.12 D.16

3、已知抛物线的焦点为F，若点在抛物线上，则(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

4、已知为等差数列，，，则(   )

A.23 B.22 C.21 D.20

5、已知函数，则在处的导数是(   )

A. B. C. D.

6、已知数列是递增的等比数列，，，若的前n项和为，则，则正整数k等于(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

7、过点的直线与双曲线相交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是(   )

A.  B.

C.  D.

8、已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数k的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9、以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为(   )

A. B. C. D.

10、已知函数，下列命题中为真命题的是(   )

A.的单调递减区间是

B.的极小值点是2

C.有且只有一个零点

D.过点只能作一条直线与的图象相切

11、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图中图形的边数为，第n个图中图形的周长为，则下列命题正确的是(   )

A.  B.

C.  D.数列的前n项和为

12、已知圆O的半径为定长R，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，关于点Q的轨迹，下列命题正确的是(   )

A.若A是圆O内的一个定点（非点O）时，点Q的轨迹是椭圆

B.若A是圆O外的一个定点时，点Q的轨迹是双曲线的一支

C.若A与点O重合时，点Q的轨迹是圆

D.若A是圆O上的一个定点时，点Q的轨迹不存在

三、填空题

13、乘积展开后共有项______.

14、若曲线在点处切线与直线垂直，则实数a的值是______.

15、已知，分别是双曲线的左､右焦点，点A是双曲线C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为___________.

16、数列满足，前16项和为352，则___________.

四、解答题

17、已知等差数列的前n项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前2023项和.

18、已知函数，曲线在点处切线方程为.

（1）求实数a，b的值；

（2）求的单调区间，并求的极大值.

19、如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点，且，，交AB于点D，点D的坐标为

（1）求P的值；

（2）若线段AB的垂直平分线与抛物线交于E，F两点，求的面积.

20、已知正项数列和，数列前n项和为，若，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）令，记数列的前n项和为，若，求n的最小值.

21、已知在平面直角坐标系中，椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距等于，且经过点.

（1）求椭圆G的标准方程；

（2）记椭圆G的左､右顶点分别为A，B，点S是椭圆G上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别相交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.

22、已知函数，其中.

（1）求的单调区间；

（2）当时，设m，n为的两个极值，证明：.

参考答案

1、答案：D

解析：化椭圆的标准方程可得，得，所以长轴长为.

2、答案：B

解析：每个班有4种不同选择，共有种不同选法

3、答案：C

解析：将点代入抛物线方程，得到，所以.

4、答案：C

解析：可得，，则，所以.

5、答案：A

解析：对函数求导可得，所以，可得.

6、答案：B

解析：联立可得，，则公比，，，所以，所以.

7、答案：A

解析：由点差法知，直线l的斜率，又直线l过点，所以直线l的方程为，经检验此时l与双曲线有两个交点.

8、答案：A

解析：

由，得，令，，可得，，，，即在上递增，上递减，令表示斜率为k，纵截距为-2的直线，画图象可得，由图象得，可得.

9、答案：BD

解析：直线与坐标轴的交点为，，故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.

10、答案：ABD

解析：，可得的单调递减区间为，A项正确；又单调递增区间为，，所以2是的极小值点，B项正确；又，则有三个零点，C项错误；原点不在曲线上，设切点为，则，得，所以切点只有一个，D项正确.

11、答案：ACD

解析：分析知及，得，A项正确，B项错误；由及，得，C项正确；数列的前n项和为，D项正确.

12、答案：AC

解析：若A是圆O内的一个定点(非点O)时，，Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，所以A项正确；若A是圆O外的一个定点时，Q的轨迹是以O，A为焦点的双曲线，所以B项错误；若A与点O重合时，Q的轨迹是以O为圆心，以为半径的圆，所以C项正确；若A是圆O上的一个定点时，点Q的轨迹为点O构成的集合，所以D项错误.

13、答案：12

解析：由分步计数原理，展开后共有项.

14、答案：

解析：可求得，.

15、答案：

解析：由题知，过P作轴于M，则，，，，.

16、答案：5

解析：由题知，，，，，又，，，，，，，，.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由，，得，，解得所以.

（2），从而有：

故数列的前2023项和为.

18、答案：（1），

（2）

解析：（1），曲线在点处的切线方程为，，解得，.

（2）由（1）可知：，，由解得，或，此时函数在单调递增；

由解得，此时函数在单调递减.

故当时，函数取得极大值，极大值为.

19、答案：（1）

（2）48

解析：（1）由于，，直线与联立，得：，，设，，由知，，，即，，.

（2）设AB中点为，由（1）知，，，即，与联立得：，设，，，

20、答案：（1），

（2）8

解析：（1）由知，，两式相减：，，，整理得：，由且得，，，由，，得.

（2）由（1）知，①，②，①-②得，，，，又，，，所以n的最小值为8

21、答案：（1）

（2）

解析：（1）由已知得，则椭圆的两焦点坐标分别为，，又，解得，又.所以椭圆G的方程为

（2）法一：设，，，则直线AS方程为，与联立，得：，，与联立，得：，则，又，，所以，，当且仅当，即，得，即时，取等号

所以，线段MN的长度的最小值.

法二：设，则直线AS的斜率为，则直线BS的斜率为，结合得：，所以可设直线AS方程为，与联立，得设直线BS方程为，与联立，得，所以，，当且仅当，即，此时时，取等号所以，线段MN的长度的最小值.

22、答案：（1）见解析

（2）证明见解析

解析：（1）依题可知：定义域为

，

①当时，由，得，或，所以的单调递增区间为，，由，得，的单调递减区间为.

②当时，，的单调递增区间为，的无单调递减区间.

③当时，由，得，或，所以的单调递增区间为，，由，得，的单调递减区间为.

（2）法一：当时，的两个极值分别为：，，，令，则令，则，所以在上单调递减，且，，故存在，使得，即，当，，，单调递增；当，，，单调递减，所以，又，，所以.

（2）法二：(前略)，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，，在(1，4)上单调递减，，，.