高中数学竞赛专题大全竞赛专题4平面向量50题竞赛真题强化训练含解析

竞赛专题4 平面向量

（50题竞赛真题强化训练）

一、单选题

1．（2018·全国·高三竞赛）已知的外接圆圆心为，.则（       ）.

A．>>.

B．>>.

C．>>

D．>>

【答案】A

【解析】

【详解】

设的外接圆半径为.则,,.又由，可知.故，即.所以>>.

2．（2019·全国·高三竞赛）设为所在平面内一动点.则使得取得最小值的点是的（       ）.

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】C

【解析】

【详解】

注意到

①

当，即为的重心时，式①取得最小值

故答案为C

3．（2018·全国·高三竞赛）设是所在平面上的一点，用、、、分别表示向量、、、．若，则是的．

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】D

【解析】

【详解】

由，得，即．

所以,则．同理，．

4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在的边上做匀速运动的三个点、、，当时，分别从、、出发，当时，恰好同时到达、、．那么，这个运动过程中的定点是的（       ）

A．内心 B．外心

C．垂心 D．重心

【答案】D

【解析】

【详解】

依题意知，设为的重心，则

.

所以，为的重心.

故答案为D

5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形中，，，，且.则等于（       ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】

如图由勾股定理得，且，则.

又因，所以，、、、四点共圆.

联结，则.

设（为锐角），则，.

作矩形，则，.

故

.选B.

编者注：此题用复数法解答比较简洁.

6．（2018·全国·高三竞赛）已知P为△ABC内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，等于.

A．1:2:3 B．2:3:4 C．3:4:2 D．4:3:2

【答案】B

【解析】

【详解】

如图，延长PA至D，使PD=2PA；延长PB至E，使PE=3PB；延长PC至F，使PF=4PC.则PD+PE+PF=0.

从而，P为△DEF的重心.于是，有

，

，

.

故.

7．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

由题意有，

则．

又因为，所以，所以．

故选：C.

8．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量、满足，，且，.若向量，且.则的最大值是（       ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】

【详解】

因为，，且，，所以，、、三点在以的中点为圆心、1为半径的圆上.

又，，则

.

故.

.

从而，点也在以为圆心，1为半径的圆上.

因此，、、、四点共圆，其圆心为.

当、、三点共线，即为的一条直径时，.

9．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

如图建立直角坐标系，.由题意得：

.即以为圆心，为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知.

二、填空题

10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC中，，，点P是斜边AB上一点，且，那么__________.

【答案】4

【解析】

【详解】

解法一：因为，

所以.

解法二：以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），

B（0，2），P（，），有，，.

所以.

故答案为4

11．（2019·全国·高三竞赛）设的面积为1，边AB、AC的中点分别为E、F，P为线段EF上的动点，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】

作于点D.设.

如下左图，当点D位于线段BC或CB的延长线上时，

.

如下右图，当点D位于边BC上时，

当D为线段BC的中点以及时，上式等号成立.

综上，.

故答案为

12．（2019·全国·高三竞赛）设是所在平面上一点,满足.若,则______.

【答案】

【解析】

【详解】

设O为原点.则

,

即.

故.

得,且.

所以,.

故答案为

13．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC中，已知，设0为△ABC的内心，且.则λ+μ=________．

【答案】

【解析】

【详解】

设AO与BC交于点D.

由角平分线定理知.

于是，.

又，则

.

因此，.

故答案为

14．（2021·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．

【答案】5

【解析】

【详解】

，当时等号成立

故答案为：5.

15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体中，设，，记和所成的角为．则______．

【答案】

【解析】

【详解】

设正四面体棱长为4．则．而，则．

16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知是的重心，若过点,且，则_____.     

【答案】3

【解析】

【详解】

由，可知.由、、三点共线有.

而,

故.

因为不共线，所以，.

解得.故.

故答案为3

17．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

由，得，即．

注意到，所以．

同理，，所以P是的垂心，

，

所以，，

所以．

故答案为：.

18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量，且，记，则y的最大值为________．

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

单位向量满足，则有，不妨设四个向量如图所示，分别为，X在单位圆O的上．设，

则有，

故有，即有，

故．

故答案为：4.

19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A满足，B、C是单位圆O上的任意两点，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

.

又，取等可以保证，

故所求范围为．

故答案为：.

20．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________.

【答案】.

【解析】

【详解】

解法一   设，，则

.

解法二   设，则，且，所以

.

故答案为：.

21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

设，则．则：

.

当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.

故答案为：.

22．（2021·全国·高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

因为，所以，

即，

记的中点为M，于是，

因此.

故答案为：.

23．（2021·全国·高三竞赛）已知为三内角，向量.如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

，

，

等号成立仅当.

令，因，所以是椭圆上的动点.

故点，设，则：

，

.

当时，.

即.

故答案为：.

24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，是边上一点，且．若点满足与共线，，则的值为_________．

【答案】或

【解析】

【分析】

【详解】

因为，所以，即．

因为与共线，所以存在实数，使得．

因为，所以，

从而

，

所以．

因为，

所以，

所以

．

因为，所以，即，解得或．

因此或．

故答案为：或.

25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量的模均在区间内，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

．

等号成立当且仅当时成立．

取边长为4、4、2的等腰，其中．

令即可．

又．

取，等号成立．

故答案为：.

26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P(－2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则____________ .

【答案】

【解析】

【详解】

由已知求得圆C：(x－1)2+(y－1)2=52到直线l的距离为3，

从而.

所以.

故答案为：．

27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC的三边分别为a、b、c，点O为△ABC的外心，已知，那么的取值范围是____________ .

【答案】

【解析】

【详解】

延长AO交△ABC的外接圆于D，得到

.

因为，所以b∈(0，2)，故.

故答案为：．

28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF的边长为1，则______ .

【答案】－3

【解析】

【详解】

如图所示，建立平面直角坐标

系设C(1，0)，则，.

于是，

，

于是.

故答案为：．

29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量满足，且，若为的夹角，则_______ .

【答案】

【解析】

【详解】

因为，所以，所以.

因为，所以.

又因为k∈Z+，所以k=2，所以.

故答案为：．

30．（2018·山东·高三竞赛）在中，，的平分线交于，且有．若，则______．

【答案】             

【解析】

【详解】

过点作交于点，交于点，

由题设，所以，，．

因此，所以，，因此．

所以

．

由此得．

31．（2018·河北·高三竞赛）设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式： _____.

【答案】

【解析】

【详解】

将化为，.

设M、N分别是AB、AC的中点，则.

设△ABC的面积为S，由几何关系知，，，

所以.

32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰△ABC中，已知，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD =DB=EF=1．若，则的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【详解】

以D为原点、射线DB和DC分别为x和y轴正方向建立平面直角坐标系.则

A(-1,0)，B(1,0)，C(0,2).

设点，其中，.

设线段EF的中点为.则

由EF=1，得.   ①

故             ②

又

        ③

将式①代入式③，消去，整理得.            ④

综合式②、④得

于是，.

故.

33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O为原点，点，，动点C在圆上运动，则的最大值为_________．

【答案】

【解析】

【详解】

令，则

.

当且仅当点与的连线过原点O时，上式等号成立.这显然是可以取得的.

34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在中，已知为的中点，点、分别在边、上，且，，，，．则______．

【答案】

【解析】

【详解】

令，．则，．

因为为的中点，所以，．

由题意知，．

故，

．

由，知

．

故答案为

35．（2018·全国·高三竞赛）已知为边上的一点, 为内一点,且满足,.则______.

【答案】

【解析】

【详解】

注意到,

36．（2018·全国·高三竞赛）已知是的外心.若,,且,则______.

【答案】

【解析】

【详解】

不妨设.以为原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系.则.

设外心为.

由，得.

解得.

则.

解得.故.

37．（2018·全国·高三竞赛）在△ABC中，已知∠A=，记向量则与的夹角等于________.

【答案】

【解析】

【详解】

注意到，即.

从而，与的夹角与∠A相等或互补.

又

显然，则因此，与的夹角等于

38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设分别为的重心、垂心，为线段的中点，外接圆的半径．则 =_______．

【答案】3

【解析】

【详解】

以的外心为原点建立平面直角坐标系.

于是，，.

则.

故

39．（2019·全国·高三竞赛）如图，，分别是正六边形的对角线、的内分点，且，若、、三点共线，则______.

【答案】

【解析】

【详解】

延长、交于点，设正六边形边长为1，易知，为的中点，，

由，可得，又，

是边上的中线，，

则有，即，

整理得，

因为当、、三点共线时，存在实数使得，

故，解得.

故答案为

40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_____.

【答案】

【解析】

【详解】

由题设知，关于的二次多项式可以分解为两个一次因式的乘积.

因，

所以，，

其中，为待定的常数.

将上式展开后比较对应项的系数得

.

解得.

再由得两直线斜率为，交点.

设两直线的夹角为（为锐角）.则

.

故

或.

故答案为

41．（2018·全国·高三竞赛）在中，，.沿向量的方向，点将线段分成了等份.设，.则______.

【答案】

【解析】

【详解】

设，.则.故.

由，得

.

42．（2019·全国·高三竞赛）设点在的外部，且.则______.

【答案】4

【解析】

【详解】

如图，设，分别是边、的中点，联结.

则             ①

             ②

得

.

则.

因此，与共线，且.

于是，.

故，.

43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量、满足，且.则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【详解】

注意到，.

由此可设 .

设 .

由.

设.

又，则

.

因此，.

44．（2018·江苏·高三竞赛）在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是________.

【答案】

【解析】

【详解】

由，，且得.

如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，，

设，则

.

即的最小值是.

故答案为

45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O为△ABC所在平面上一定点，动点P满足，其，则P点的轨迹为________．

【答案】∠BAC的角平分线

【解析】

【详解】

,

而，且，

所以表示∠BAC的角平分线上的一个向量．

因此，P点的轨迹为∠BAC的角平分线．

故答案为∠BAC的角平分线

46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量､､，满足，若，那么的最小值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】

设，则即为点到点（圆上的动点）的距离与到点的距离，利用对称可求其最小值.

【详解】

解析：建立直角坐标系.

设，

则

.

问题转化为点到点的距离与到点的距离之和最小，

其中点在直线上运动，

点在圆上运动，

所以.

点O关于直线对称的点为，所以

，

所以，等号可以取到，所以最小值是.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.

47．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC中，.则____________ .

【答案】

【解析】

【详解】

设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.

由，知G为△ABC的重心.

又GA⊥GB，所以.

得到.故：

.

故答案为：．

48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量、、，满足（其中为给定的正常数）．则实数t的最小值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

应用及求和的轮换关系得到，再分类讨论即可得解.

【详解】

，

所以．故．

假设，则．

故，

所以，

这与、为非零向量矛盾．从而．

又，所以，当两两同向且模均为时等号成立．

故．

故答案为：

三、解答题

49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点满足．

（1）求的最大值；

（2）设向量,,定义运算．若,求的取值范围．(其中О为坐标原点)

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【详解】

（1）因为,

等号当且仅当向量与反向共线时成立,所以的最大值为．

（2）由于,所以点在以为圆心,为半径的圆上．

又因为,所以为圆的直径,则点C为A1A3的中点．

所以①

因为点为的中点,所以,,

代入式①可得原式=

②

因为,所以,

可得,

再代入式②可化简为：,且．

设,,

则．

故．

50．（2021·全国·高三竞赛）已知点，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】三角形面积为定值．

【解析】

【分析】

【详解】

先证明一个引理：若，则．

因为，

所以，

所以，

所以：

回到原题，连结、、，则：

．

由三角形的重心为原点得即

所以两式平方相加可得，所以，

同理，

所以，

故三角形面积为定值．