高中数学竞赛专题大全竞赛专题6数列50题竞赛真题强化训练含解析

竞赛专题6 数列

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1．（2020·江苏·高三竞赛）已知正实数，，满足，则的最小值为__________．

【答案】10

【解析】

【详解】

解析：易知恒等式，而

，

当且仅当，时，等号成立．

故答案为：10.

2．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

，当且仅当时取到等号．

故答案为：.

3．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________．

【答案】##0.5

【解析】

【详解】

由柯西不等式知

，

且，所以，

且当时取到等号．

故答案为：.

4．（2021·全国·高三竞赛）实数a､b满足，则的最大值是___________.

【答案】

【解析】

【详解】

解析：不妨设，则：

，

当且仅当时等号成立，

故的最大值为，

故答案为：.

5．（2021·全国·高三竞赛）已知圆与轴相交于两点，抛物线与圆相交于两不同的点，则梯形面积的最大值是___________.

【答案】

【解析】

【详解】

解析：设点，则梯形的面积为，

而消元，可得面积为，

故，当且仅当时等号成立，

故面积最大值为.

故答案为：.

6．（2020·浙江·高三竞赛）设，则__________.

【答案】.

【解析】

【详解】

设，则，

所以.

设给定的正实数，，

令，解得，，所以.

则，

当且仅当 ，时等号均成立，

故的最大值为,

故答案为：.

7．（2021·全国·高三竞赛）设满足，则的最大值是___________.

【答案】

【解析】

【详解】

取，使.

由于，

所以

.

最大值为.

故答案为：.

8．（2021·全国·高三竞赛）设n是给定的正整数，是非负实数，，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【详解】

先证明，①

事实上，两边平方后，化简可得上述不等式等价于

，②

由于，于是②式成立，所以①成立.

类似可证明

最后可得.③

当时，③中的“”即为“”.

所以最小值为.

故答案为：.

9．（2021·浙江·高三竞赛）已知，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

因为

.

当，时，取得最小值.

故答案为：.

10．（2021·浙江·高三竞赛）使得对一切正实数，恒成立的最大实数为______.

【答案】9

【解析】

【分析】

【详解】

不妨设,则有,

令,则有.

则有,

整理得.

即有,

则恒成立,则有.

故答案为：9.

11．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

令，

,

当且仅当即时取等号.

故答案为：.

12．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

（1）当的直角顶点在的斜边上，如图1所示，则P，C、Q，R四点共圆，，所以．

在、中分别应用正弦定理得．

又，故，即R为的中点．

过R作于H，则，

所以，此时的最小值为．

（2）当的直角顶点在的直角边上，如图2所示．

设，

则．

在中，，在中，

，

由正弦定理，，因此．

这样，，

当且仅当时取等号，此时的最小值为．

故答案为：.

13．（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足，则的最小值为__________．

【答案】3

【解析】

【分析】

【详解】

设，则．又因为，

所以，．

点在圆心为，半径为2的圆上运动，

结合几何意义和，知，当时，有最小值3，

且当时等号成立．

故答案为：3.

14．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

设，则．则：

.

当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.

故答案为：.

15．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数成等差数列，且以为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为________.

【答案】10

【解析】

【分析】

【详解】

设为正整数，由于以为三边长可以构成一个三角形，

则，

所以，

于是，即有.

故答案为：10.

16．（2021·全国·高三竞赛）设，且满足，则的最大值为_________．

【答案】12

【解析】

【分析】

【详解】

注意到，

解得，

而时取到最大值12．

故答案为：12.

17．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________．

【答案】

【解析】

【详解】

解析：最大值为．

记，则，故，即，对,

求和，并结合算术-几何平均不等式，

有，

故，等号当时取到．

所以原式的最大值为．

故答案为：.

18．（2021·浙江·高三竞赛）一条直线上有三个数字，，，数字位于，之间，称数值为该直线的邻差值.现将数字1~9填入的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子､竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______，最大值为______.

【答案】     36     60

【解析】

【分析】

【详解】

如图1,这8条直线的邻差值之和：

,

利用局部调整法,当时，有最小值.

当如图2排列时，有最大值.

故答案为：36,60.

19．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数，且，设正实数满足，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

令．

由题设可得，于是：

，

，

……

，

将上述各式利用均值不等式得：

，

，

……

，

再把上述个不等式相乘，得

，

即．

由于，故，

当且仅当时上式等号成立．

故答案为：.

二、解答题

20．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足．

【答案】

【解析】

【详解】

设，则不等式化为．

当时，；

当时，；当时，．

因此不等式可化为．

设，考虑在1和之间恒小于零，则，

故，

解得．所以的取值范围是．

21．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

第一步化简原式，第二步利用不等式即可得到或，这两种情况是对称的，不妨证明的时候成立，所以原式成立.

【详解】

由已知 ，得 ，故全相等．

注意到若实数满足，则，即．因此，．

设中有，个b，则有，且

，

即．

由不等式，若，

，

因此必取等，即或，这两种情况是对称的，不妨，则

，

知，则．

若，则，即．

若，则，即．

综上可知，要么1个个；要么全是．

22．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．

【答案】的最大值为3．

【解析】

【分析】

先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.

【详解】

一方面，取，得

即

．

令，得．

另一方面对正实数x，y有，故

，

，

，

……

．

以上各式相加，得

．

故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．

23．（2021·全国·高三竞赛）已知证明：存在，使得.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

不妨，设，

当时，因为，

即，当且仅当时，等号成立.

故，所以存在，使得，即.

所以存在，使得.

24．（2020·浙江·高三竞赛）设非负实数，，，证明：.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

证 设，

问题等价于证明：，

当时，不等式显然成立；

故即证：，其中.

而.

设，探究与在的大小，

即比较与在的大小，

.

注意

，

所以命题得证.

25．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c，满足，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

由于齐次，不妨令，则．

记

．

又由基本不等式可得，故，

故，所以，因此．

26．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数p，使得对任意实数a､b均有.

【答案】p的取值范围是.

【解析】

【详解】

易见a､b同号.

令，则，所以.

令，则，所以.

下面说明当时，原不等式成立.

若，则，所以原不等式成立.

若，则.

因为，

以及.

又因为，所以.

于是原不等式也成立.

综上所述，p的取值范围是.

27．（2021·全国·高三竞赛）求c的最大值，使得对任意的正实数x、y、z，均有，其中“”表示轮换对称求和．

【答案】．

【解析】

【分析】

【详解】

注意到，由不等式的轮换对称性，不妨设x最小，则，其中．所以，原式等价于：

，

化简得．

由，且x可无限接近于0，得，对成立．

又，为了求c的最大值，可不妨设．

令，，

设，

则，

所以在上严格单调递增．

而，

解得，所以在上单调递减，在上单调递增．

故，

所以，c的最大值为．

28．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数满足：．

【答案】，其中．

【解析】

【分析】

【详解】

记，不妨，

于是有．

平方整理得，

于是有，

所以．

相应的．

由，即，符合假设．

由，即，又，符合假设．

综上，，其中．

29．（2021·全国·高三竞赛）已知是正实数，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

要证明原不等式，只要证明，

即证，

只需证明．

记，则只需证明，

即证，

即证                       （*）

注意到，所以，

所以，

即（*）成立，所以原命题成立．

30．（2021·全国·高三竞赛）已知，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

构造一次函数.

根据一次函数的单调性，只需证明和.

因为，

由题设，，所以，

所以.

又因为.

综上，原不等式成立.

31．（2021·全国·高三竞赛）已知函数，记的最大值为．当b、c变化时，求的最小值．

【答案】．

【解析】

【分析】

【详解】

因为对任意的，所以取，0，得：

则，

故，

则，所以，

此时可取，

此时．显然可以取到．

综上，的最小值为．

32．（2021·全国·高三竞赛）在平面内画出条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证明：涂色区域的个数不超过.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

讨论这条直线的位置关系，当所画直线均两两平行，当所有的直线不全平行时，当只有两条线为边界的区域的区界是两条射线.对每种关系进行一一讨论，即可证明.

【详解】

若所画直线均两两平行，则把平面分成个区域，当n为偶数时，涂色区域个数不超过；当n为奇数时，涂色区域个数不超过.且.

当所有的直线不全平行时，此时每条直线都被与之相交的直线分成了线段或射线，故没有边界为直线的区域.设边界的线（线段或射线）的条数为i的涂色区域有个，且边界上最多k条线.

只有两条线为边界的区域的区界是两条射线，每条射线只能作一次涂色区域的边界，n条直线上只有条射线，从而.

又每条直线至多分成了n段，n条直线至多分成段，且每段只能作一条涂色区域的边界，所以，于是涂色区域的个数

.

33．（2021·全国·高三竞赛）设n是一个大于等于3的正整数，当n满足什么条件时，对任意实数总成立：.

【答案】或

【解析】

【详解】

当且仅当或时成立.

设

，

首先给出反例：

时，，，不等式不成立.

时，，，不等式不成立.

或时不等式成立，理由如下：

时，设a､b､c是实数，即证：

显然成立.

时，设a､b､c､d､c是实数，即证：

式子是完全对称的，可设，那么，

.

因此，同理，

.

又，三个式子相加得证.

34．（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值.

【答案】

【解析】

【详解】

一方面，当时，方程，故此函数有三个相等的零点，此时，下面证明即为所求的最小值.

设方程的三个正实根分别为､､，

则由根与系数的关系可得.

故.

由知：，可得.①

又由知：，可得，

从而有，

故，解得，所以，即，

所以②

由①②可得

，其中，

设，则，

故在为减函数，故.

故.

35．（2021·全国·高三竞赛）证明：对每个大于1的奇数，是无理数.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

假设存在大于1的奇数是有理数.

设，

则，.

下面证明：对任何正整数，且，①

时结论成立.

设，且，

由得：

.

设，则，且.

因此，①对一切正整数都成立，所以，

故，因此.

，所以或2的方幂，这与是大于1的奇数矛盾.

36．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

当时，，并且时，，

因此，对任意，存在唯一的，使得.

则有，所以.

同理，，

所以（其中充分大使得）

.

37．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c满足．求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

证明：由，得

．

接下来只需要证明：，

其中，正实数a，b，c满足．

事实上，由柯西不等式，得：

．

而

．

所以．

故原不等式成立．

38．（2021·全国·高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）

【答案】证明见解析，存在无穷多个n，使.

【解析】

【详解】

用表示正整数i的正因数个数，

则.

所以若取，

则，

所以.

而

.

所以，于是，故存在无穷多个n使.

若取（p为质数，），

则，.

当时，

.

所以.

所以，于是.

故存在无穷多个n，使.

39．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为，证明：．

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

设，，，

则根据题意，、是关于k的方程的两个实根，

该方程即，

于是．

，

原命题得证．

40．（2021·全国·高三竞赛）设x、y、z均为非负实数，且满足：，求的最大值与最小值．

【答案】；48．

【解析】

【详解】

由柯西不等式：

，

从而得到，将条件改写为，

利用，可知

从而，得到

，

进而，当时取到等号．

另一方面，，

得到，

故，

从而，

因为，

进而，

解得，故得到，

当时取到等号．

41．（2021·全国·高三竞赛）对每一个正整数，求最大的常数使得不等式对任意满足的实数成立．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

首先，我们证明；

若n为偶数，设，取，此时．

所以．

若n为奇数，设，取，

此时，．

所以，所以对均有．

下面我们证明满足条件，即．

又．

因为，所以．所以，得证．

所以的最大值为．

42．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足．证明：．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

当时，由平均值不等式知．

又，则，所以

．

当时，即证．

由于，所以

，

所以．

命题得证．

43．（2021·全国·高三竞赛）已知为正实数，且满足，求证：！．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

设，则有，命题即证．

（1）若对于所有，有，则．

（2）若存在某一个，有.

设，则有，

则.

注意到，

故只需证，

即．

又因为，

故

因此命题成立．

44．（2021·全国·高三竞赛）设是连续个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在个数满足．

【答案】．

【解析】

【分析】

【详解】

记，任何一个以i为首项，2为公比的等比数列与A的交集设为．

一方面，由于M中个元的子集中不存在题设的个数，否则，而，矛盾．

故．

另一方面，时，题设满足.

若非如此，考虑以为首项，以2为公比的等比数列．其与M的交集的元素个数为个．

设M任何k元子集为T，则上述等比数列与M的交集中至少有个元素不在T中，而时，．

注意到所以，

可得与矛盾．

综上，所求k为．

45．（2021·全国·高三竞赛）设为正实数，求证：．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

根据伯努利不等式，有，

故只需证明．

因为，

从而．

不妨设，由伯努利不等式可得：

，

从而．

46．（2021·全国·高三竞赛）已知，求证：．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

因为

，

所以

，

当且仅当时等号成立．

以下配对柯西约分：

因为，

，

……，

显然柯西不等式等号不成立．

所以，

即.

47．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足对任意有，求证：!．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

令，条件转化为对任意有．

要证不等式即．

若对任意均有，则左式．

否则恰存在一个使得，记，则对任意，有．

于是左式．

即只需证：．                           ①

由不等式知

①式左端．

显然，因此①式成立，即证原不等式成立．

48．（2021·全国·高三竞赛）已知，且满足，求的最大值.

【答案】当为偶数时，最大值为，当n为奇数时，最大值为.

【解析】

【分析】

【详解】

当且仅当时等号成立.

（1）当为偶数时，最大时，显然需满足，否则用替换依然满足条件，且值增大.

设，所以.

当且仅当（为奇数，为偶数或为偶数，为奇数）时等号成立.

（2）当为奇数时，必存在同号，不妨设同号，则：

.

不妨设，则，所以：

.

当且仅当或时等号成立.

49．（2021·全国·高三竞赛）设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

任取，由柯西不等式，有：

．

所以．

其中求和对1，2，…，n的所有个元组合进行．

上式左边实际上是一些k元组合的求和，因对任意k元组合，选这k个数的元组合有个（余下的个数中任意一个数都与其构成一个元组合），

故．

这样便有，

所以．

再注意到，即得：

．

这就证明了，其中．

即有．

50．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，

证明.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

等价于已知，，，，证：，

由三元均值不等式有，

由柯西不等式有，

所以有，

则可知，

由柯西不等式有，

则有.

，∴，

又∵，

所以,

所以原不等式成立.