2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第七章 不等式、推理与证明 第4节 推理与证明

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第七章 不等式、推理与证明 第4节 推理与证明，共15页。试卷主要包含了演绎推理，直接证明，间接证明等内容，欢迎下载使用。
第4节　推理与证明
考试要求　1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.5.了解反证法的思考过程的特点.


1.合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理
由特殊到特殊
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
3.直接证明

内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……所以……
或由……得……
要证……只需证……
即证……
4.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.

1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(　　)
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a0且a≠1)的才是对数函数.
2.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A.f(x) B.－f(x)
C.g(x) D.－g(x)
答案　D
解析　由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).
3.观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则式子35是第(　　)
A.22项 B.23项 C.24项 D.25项
答案　C
解析　两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35是和为8的第3项，所以为第24项.
4.分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明2 B.x2>4
C.x2>0 D.x2>1
答案　C
解析　因为x>0，所以要证0成立，故原不等式成立.
5.设x，y，z为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
A.至少有一个不大于2 B.都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
答案　C
解析　假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6(当且仅当x＝y＝z＝1，等号成立)，与a＋b＋c＜6矛盾，∴a，b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.
6.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤

000
0
震

001
1
坎

010
2
兑

011
3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是(　　)
A.18 B.17 C.16 D.15
答案　B
解析　由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.
7.数列2，5，11，20，x，…中的x等于________.
答案　32
解析　由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.
8.已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f2 023(x)的表达式为________.
答案　f2 023(x)＝
解析　f1(x)＝，
f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝，
…，
fn＋1(x)＝f(fn(x))＝，
归纳可得f2 023(x)＝.
9.若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线，则有如下命题：
若P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________.
答案　－＝1
解析　类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
10.若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
由于a，b，c是不全相等的正数，
∴上述三个不等式中等号不能同时成立，
∴··＞abc＞0成立.
上式两边同时取常用对数，得
lg＞lg abc，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
11.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
证明　假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即ac＋bd＋ad＋bc＝1，
又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立，
故a，b，c，d中至少有一个是负数.

12.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)
A.n＋1 B.2n
C. D.n2＋n＋1
答案　C
解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域.
13.将正整数排成如下数阵：
1
2　3　4
5　6　7　8　9
10　11　12　13　14　15　16
…
用aij表示第i行第j列的数，若aij＝2 020，则i＋j的值为________.
答案　129
解析　由数阵的排列规律可知：每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2.因为442＝1 936，452＝2 025，所以2 020出现在第45行.又由2 020－1 936＝84，故i＝45，j＝84，所以i＋j＝129.
14.若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.
(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；
(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解　(1)由题意得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
则b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b＞1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾.
故不存在常数a，b(a＞－2)使函数h(x)＝是[a，b]上的“四维光军”函数.