2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第四章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第四章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式，共13页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式等内容，欢迎下载使用。

1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；
sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)对任意的角α，sin2α＋cs2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝eq \f(1,3)，
当k为偶数时，sin α＝－eq \f(1,3).
2.求值：cseq \f(2 023π,6)＝________.
答案 －eq \f(\r(3),2)
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(337π＋\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
3.若cs α＝eq \f(\r(3),3)，则tan α＝________.
答案 ±eq \r(2)
解析 因为cs α＝eq \f(\r(3),3)，
所以sin α＝±eq \r(1－cs2 α)＝±eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝±eq \f(\r(6),3 ).
故tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝±eq \r(2).
4.(易错题)已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为________.
答案 －eq \f(\r(2),3)
解析：∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18).
又∵(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
∴sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).
5.(2022·昆明诊断)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝________.
答案 eq \f(1,5)
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,5).
6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))，则sin2α－eq \f(1,2)sin 2α－cs2α＝________.
答案 －eq \f(1,13)
解析 由2sin(π－α)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))，
得2sin α＝3cs α.
所以tan α＝eq \f(3,2)，从而sin2α－eq \f(1,2)sin 2α－cs2α＝
eq \f(sin2α－sin αcs α－cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan 2α－tan α－1,tan2α＋1)＝－eq \f(1,13).
考点一 诱导公式的应用
1.化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))tan2（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin（π＋α）)＝________.
答案 －eq \f(1,sin α)
解析 原式＝eq \f(cs α（－cs α）tan2 α,sin α（－sin α）（－sin α） )＝－eq \f(1,sin α).
2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝eq \f(1,3)，则sin β＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.
∵sin α＝eq \f(1,3)，
∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝eq \f(1,3).
3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cs 1 063°＋tan(－30°)的值为________.
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 sin 613°＋cs 1 063°－tan 30°
＝sin(180°＋73°)＋cs(－17°)－tan 30°
＝－sin 73°＋cs(－17°)－tan 30°
＝－cs 17°＋cs 17°－eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),3).
感悟提升 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
考点二 同角三角函数基本关系及其应用
角度1 切弦互化
例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－eq \f(8,15)，则sin α等于( )
A.eq \f(15,17) B.－eq \f(15,17) C.eq \f(8,17) D.－eq \f(8,17)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则eq \f(sin θ（1＋sin 2θ）,sin θ＋cs θ)＝( )
A.－eq \f(6,5) B.－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(6,5)
答案 (1)D (2)C
解析 (1)因为tan α＝－eq \f(8,15)，
所以eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(8,15)，
所以cs α＝－eq \f(15,8)sin α，
代入sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝eq \f(64,289)，
又α是第四象限角，所以sin α＝－eq \f(8,17).
(2)因为tan θ＝－2，
所以eq \f(sin θ（1＋sin 2θ）,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θ（sin θ＋cs θ）2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin2 θ＋sin θcs θ,sin2 θ＋cs 2θ)
＝eq \f(tan2 θ＋tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(4－2,1＋4)＝eq \f(2,5).
角度2 sin α±cs α与sin αcs α的转化
例2 若sin θ－cs θ＝eq \f(4,3)，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，则sin(π－θ)－cs(π－θ)＝( )
A.－eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),3) C.－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)
答案 A
解析 由sin θ－cs θ＝eq \f(4,3)得1－2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，即2sin θcs θ＝－eq \f(7,9)，
∴(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcsθ＝eq \f(2,9).
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，∴sin θ＋cs θ＜0，
∴sin θ＋cs θ＝－eq \f(\r(2),3)，
则sin(π－θ)－cs(π－θ)＝sin θ＋cs θ＝－eq \f(\r(2),3)，故选A.
感悟提升 1.(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如eq \f(asin x＋bcs x,csin x＋dcs x)，asin2x＋bsin xcs x＋ccs2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
训练1 (1)(2022·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α等于( )
A.eq \f(3,4) B.－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D.－eq \f(4,3)
(2)(2022·成都联考)在△ABC中，sin A·cs A＝－eq \f(1,8)，则cs A－sin A的值为( )
A.－eq \f(\r(3),2) B.－eq \f(\r(5),2) C.eq \f(\r(5),2) D.±eq \f(\r(3),2)
(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cs α＝eq \f(7,5)，则tan α＝________.
答案 (1)D (2)B (3)eq \f(4,3)或eq \f(3,4)
解析 (1)因为cs α＝－eq \f(3,5)且α∈(0，π)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).
(2)∵在△ABC中，sin A·cs A＝－eq \f(1,8)，
∴A为钝角，∴cs A－sin A＜0，
∴cs A－sin A＝－eq \r(（cs A－sin A）2)
＝－eq \r(cs2A＋sin2A－2sin Acs A)
＝－eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))))＝－eq \f(\r(5),2).
(3)将sin α＋cs α＝eq \f(7,5)两边平方得1＋2sin αcs α＝eq \f(49,25)，
∴sin αcs α＝eq \f(12,25)，
∴eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,tan2α＋1)＝eq \f(12,25)，
整理得12tan2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝eq \f(4,3)或tan α＝eq \f(3,4).
考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))的值是________.
答案 (1)A (2)0
解析 (1)由3cs 2α－8cs α＝5，
得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，
即3cs2α－4cs α－4＝0，
解得cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去).
又因为α∈(0，π)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),3).故选A.
(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝0.
感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq \f(π,6)－θ与eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等.
训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cs θ＝1，则tan θ＝________；
(2)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝________.
答案 (1)－eq \f(4,3) (2)－eq \f(\r(3),3)
解析 (1)由(sin θ＋3cs θ)2＝1＝sin2θ＋cs2 θ， 得6sin θcs θ＝－8cs2 θ，
又因为θ为第四象限角，所以cs θ≠0，
所以6sin θ＝－8cs θ，所以tan θ＝－eq \f(4,3).
(2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝π，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
1.sin 1 050°等于( )
A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.－eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)
＝－sin 30°＝－eq \f(1,2).
2.若角α的终边在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2 α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2 α))的值为( )
A.3 B.－3 C.1 D.－1
答案 B
解析 由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cs α＜0，故原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝eq \f(cs α,－cs α)＋eq \f(2sin α,－sin α)＝－1－2＝－3，故选B.
3.已知α是第四象限角，sin α＝－eq \f(12,13)，则tan(π＋α)等于( )
A.－eq \f(5,13) B.eq \f(5,13) C.－eq \f(12,5) D.eq \f(12,5)
答案 C
解析 因为α是第四象限角，sin α＝－eq \f(12,13)，
所以cs α＝eq \r(1－sin2 α)＝eq \f(5,13)，
故tan(π＋α)＝tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(12,5).
4.已知sin α－cs α＝eq \f(5,4)，则sin 2α＝( )
A.－eq \f(9,16) B.－eq \f(7,16) C.eq \f(7,16) D.eq \f(9,16)
答案 A
解析 ∵(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(9,16).
5.已知eq \r(3)sin(π＋θ)＝cs(2π－θ)，|θ|