2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第四章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质

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1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的周期T＝eq \f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝eq \f(π,|ω|).
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)T，其中T为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)T，其中T为周期.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cs x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)余弦函数y＝cs x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k0，|φ|c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
答案 A
解析 a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))＝2cseq \f(13π,42)，
b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2cseq \f(π,3)，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2cseq \f(5π,12)，
因为y＝cs x在[0，π]上递减，
又eq \f(13π,42)c.
角度3 根据三角函数的单调性求参数
例4 (1)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(5π,8)))上单调递增，则φ的取值范围是________.
(2)(2022·山西高三测评)已知函数f(x)＝sineq \f(x,2)＋eq \r(3)cseq \f(x,2)在(－a，a)(a＞0)上单调递增，则a的取值范围是________.
答案 (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,10)，\f(π,4))) (2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
解析 (1)因为函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(5π,8)))上单调递增，
所以函数y＝2sin(2x＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(5π,8)))上单调递减，
又因为y＝2sin(2x＋φ)的单调递减区间为eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,4)＋kπ－eq \f(φ,2)≤x≤eq \f(3π,4)＋kπ－eq \f(φ,2)，k∈Z，
所以eq \f(π,4)＋kπ－eq \f(φ,2)≤eq \f(π,5)，eq \f(5π,8)≤eq \f(3π,4)＋kπ－eq \f(φ,2)，k∈Z，
所以eq \f(π,10)＋2kπ≤φ≤eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|＜π，所以令k＝0，解得eq \f(π,10)≤φ≤eq \f(π,4)，
所以φ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,10)，\f(π,4))).
(2)f(x)＝sin eq \f(x,2)＋eq \r(3)cs eq \f(x,2)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
得－eq \f(5π,3)＋4kπ≤x≤eq \f(π,3)＋4kπ(k∈Z)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≤\f(π,3)，,－a≥－\f(5π,3)，又a>0，所以a∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).))
感悟提升 1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
训练2 (1)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))的单调递增区间是________.
(2)(2022·中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,10)))－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，a))上单调，则实数a的最大值是________.
答案 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z (2)eq \f(7π,5)
解析 (1)由－eq \f(π,2)＋kπ＜eq \f(x,2)－eq \f(π,6)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得2kπ－eq \f(2π,3)＜x＜2kπ＋eq \f(4π,3)，k∈Z，
所以函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.
(2)法一 令2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,10)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，即2kπ＋eq \f(2π,5)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,5)，k∈Z，
所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)，\f(7π,5)))上单调递减，
所以a的最大值为eq \f(7π,5).
法二 因为eq \f(π,2)≤x≤a，
所以eq \f(π,2)＋eq \f(π,10)≤x＋eq \f(π,10)≤a＋eq \f(π,10)，
又f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，a))上单调，eq \f(π,2)＋eq \f(π,10)＜a＋eq \f(π,10)≤eq \f(3π,2)，即eq \f(π,2)＜a≤eq \f(7π,5)，所以a的最大值为eq \f(7π,5).
三角函数中ω的求解
在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
一、结合三角函数的单调性求解
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
答案 D
解析 令eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，
因为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≤\f(π,3)，,\f(π,2)≤\f(3π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，))得6k＋eq \f(3,2)≤ω≤4k＋3.
又ω＞0，所以k≥0.
又6k＋eq \f(3,2)≤4k＋3，得0≤k≤eq \f(3,4).
又k∈Z，所以k＝0.即eq \f(3,2)≤ω≤3.故选D.
二、结合三角函数的对称性、周期性求解
例2 (2021·兰州质量预测)设函数f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx(ω＞0)，其图象的一条对称轴在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.(0，2) C.(1，2) D.[1，2)
答案 C
解析 f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)，
令ωx＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得x＝eq \f(π,3ω)＋eq \f(kπ,ω)(k∈Z)，
由于函数f(x)图象的一条对称轴在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))内，
因此有eq \f(π,6)＜eq \f(π,3ω)＋eq \f(kπ,ω)＜eq \f(π,3)(k∈Z)成立，即3k＋1＜ω＜6k＋2(k∈Z)，
由f(x)的最小正周期大于π，得eq \f(2π,ω)＞π且ω＞0，解得0＜ω＜2，
综上可得1＜ω＜2.故选C.
三、结合三角函数的最值求解
例3 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
答案 (－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
解析 显然ω≠0.若ω＞0，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，－eq \f(π,3)ω≤ωx≤eq \f(π,4)ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，
所以－eq \f(π,3)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≥eq \f(3,2).
若ω＜0，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，eq \f(π,4)ω≤ωx≤－eq \f(π,3)ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，
所以eq \f(π,4)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的ω的取值范围是(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
1.下列函数中，是周期函数的为( )
A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x|
C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0
答案 C
解析 对于C，f(x＋π)＝|tan(x＋π)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是周期函数，其余均不是周期函数.
2.(2021·西安调研)函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(k,2)π－\f(π,8)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(k,2)π＋\f(π,8)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(k,2)π，k∈Z))))
答案 C
解析 要使函数有意义，则2x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即x≠eq \f(k,2)π＋eq \f(π,8)，k∈Z，
所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(k,2)π＋\f(π,8)，k∈Z))))，故选C.
3.函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象的一条对称轴方程为( )
A.x＝eq \f(π,6) B.x＝eq \f(5π,12)
C.x＝eq \f(2π,3) D.x＝－eq \f(2π,3)
答案 B
解析 令2x＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，k∈Z，当k＝1时，x＝eq \f(5π,12)，故选B.
4.已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|\f(π,4)，))解得1≤ω