2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第一章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第一章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件，共12页。试卷主要包含了四种命题及其相互关系，已知命题p等内容，欢迎下载使用。
第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.


1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp

1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.
3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
4.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－30”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.
答案　3
解析　由x2－x－6>0，解得x3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
6.已知命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________.
答案　2
解析　由x≥0，y≥0⇒xy≥0，
∴原命题成立，则逆否命题也成立.
由xy≥0 x≥0，y≥0，如x＝－1，y＝－2，
∴原命题的逆命题不成立，则原命题的否命题也不成立.

　考点一　命题及其关系
1.已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列说法正确的是(　　)
A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”
B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”
C.逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”
D.逆否命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”
答案　B
解析　由四种命题关系易知B正确.
2.给出以下命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③若ab是正整数，则a，b都是正整数；
④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减.
其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号).
答案　①
解析　①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假命题.综上①为真命题.
3.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________.
答案　f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一，再如f(x)＝)
解析　根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).
感悟提升　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
　考点二　充分条件与必要条件的判定　
例1 (1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.
由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，
可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，
所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，
所以B，C∈α，所以l，m⊂α，
所以m，n，l在同一平面内.故选B.
(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，
则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，
有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；
当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，
有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin β.
若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.
感悟提升　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
训练1 (1)(2022·长春质检)已知m，n是平面α内两条不同的直线，则“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”成立的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)若m与n不相交，则由“直线l⊥m且l⊥n”不能推出“l⊥α”，若l⊥α，则l垂直于面内任何一条直线，故选B.
(2)若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4成立.
当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，
∴a＋b>4，ab>4 a>2，b>2，故答案为A.
考点三　充分、必要条件的应用
例2 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，
∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
迁移 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且qp，即PS.
∴或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).
感悟提升　1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键
(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.
(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
训练2 (1)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.1