专题3-2 含参讨论-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

这是一份专题3-2 含参讨论-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共55页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练47等内容，欢迎下载使用。
专题3-2 含参讨论

目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在常数位置（单参） 1
【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在系数位置（单参） 3
【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在“斜率”和常数位置（双参） 6
【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型 10
【题型五】 上下平移：指数型 12
【题型六】 上下平移：对数型 15
【题型七】 一元二次可因式分解型 18
【题型八】 一元二次不能因式分解型 21
【题型九】 双线法：指数型 24
【题型十】 双线法：对数型 29
【题型十一】 含三角函数讨论 30
【题型十二】 二阶求导型 33
【题型十三】 已知单调性求参 36
【题型十四】 不确定单调增或减求参 37
【题型十五】 存在单调增（减）区间求参 40
【题型十六】 非单调函数求参 42
二、最新模考题组练 47



讨论核心思维：对于许多中等学生而言，研究单调性需要解，但是这个是计算，容易解错或者遗漏，优秀学生则容易在此处花费时间，本专题核心思想是怎么把可能复杂的解不等式计算转化为简单的等式计算，快速找到讨论点。

导数求单调性含参讨论，直接题型大多是位于大题第一问，而大题第二问，以及小题难题，往往却需要分类讨论的应用能力。本专题围绕研究的是讨论点的寻找和训练，故所选大题，解析答案处大多数把第二问暂时去掉。
前三个专题是思维基础，要把这看似简单的题型讲解透彻

【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】（1）、先求出，对分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;
（2）、由题意将问题转化为有两个不同的实根，构造，判断的单调性；要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根；构造，对分类讨论判断的单调性，判断的零点，得出的取值范围.
解（1），，.
①、当，，函数在上单调递增；
②、当，令，得，时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当，的单调递增为，无单调递减区间；
当，的单调递增为，的单调递减为.

【提分秘籍】
基本规律
1.如定义域不是R，而是区间形式，则存在区间端点值。记下区间端点值。
2.求导分解因式后，不确定正负的部分是一元一次形式：kx+b，其中k是已知（非零），参数在b处。
3.可得零点，令x等于定义域端点值，则可得讨论点。
4.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。

【变式演练】
1.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，
（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可
（1）的定义域为
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
2.已知函数.
（1）求的单调区间
（2）若的极值点为，且，证明：.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导，由，求解；
（2）由（1）结合的极值点为，由，得到，，作出函数的大致图象，不妨设，根据，得到，再由 ，将证明，转化为证明即可.
解：的定义域为，，
由，得.当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，若在上为单调递增函数，在上为单调递减函数；（2）证明见解析.
【分析】
（1）的定义域为，求导，分类讨论和两种情况，研究的正负，从而求得函数的单调区间；
（2）由题得，则，由是的两个极值点，可知，所以，要证，需证，构造函数，即证
，从而证得.
【详解】
（1）易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.

【提分秘籍】
基本规律
对于求导后kx+b，其中b是已知，参数在k处
1.令k=0，得第一讨论点
2.令动根=定义域端点值，可得其余讨论点
3.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。
4.注意对应讨论点斜率正负。根的位置，画出对应图像，查找落在定义域部分正负

【变式演练】
1.已知函数fx=alnx+1x+4，其中a∈R．
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）对任意x∈1,e，不等式fx≥1x+x+12恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析（2）[e+12−4,+∞)
【分析】
（1）求出导函数f'(x)，分类讨论确定f'(x)的正负得单调区间；
（2）不等式变形为x+12−alnx−4≤0．引入新函数gx=x+12−alnx−4x∈1,e，求出导函数g'(x)，分类讨论a≤0时，不等式不恒成立，a>0时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较g(e)和g(1)的大小得到，从而得出参数范围．
解（1）函数fx的定义域为0,+∞，
f'x=ax−1x2=ax−1x2，
当a≤0时，f'x0时，由f'x>0，得x>1a，
由f'x0，所以f'(x)在(0,+∞)单调递增；
所以f'(x)≥f'(0)=0，所以f(x)在(−1,+∞)单调递增，
即f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，不存在递减区间.

【题型十三】 已知单调性求参
【典例分析】
已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；
【答案】（1）；（1）
当时，，故结论成立
当时，，即.
当时，在上不恒大于或等于0，故舍去.
综上得的取值范围范围是.

【提分秘籍】
基本规律
已知单调性（增或者减），可转化为导函数恒大于零或者小于零，则为恒成立。大多数可参变分离。


【变式演练】
1.已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；试题解析：（1）
由题意，即对恒成立，整理得
，即，在恒成立
设显然其对称轴为
∴在单调递增，∴只要，∴．
2.已知函数．
（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；
【解析】（1）函数定义域为，．
依题意在上恒成立，即在上恒成立．
令．
（方法1）则
，因此当，即时取最小值．
（方法2）则，
令得，且当时；当时，
所以在取得最小值，故实数的取值范围是．
3.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；
试题解析：解：（1）在上恒成立，
令，有得，得．
综上，存在实数，使得当时有最小值3．

【题型十四】 不确定单调增或减求参
【典例分析】
已知函数f(x)＝x2＋alnx.(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】 (2) [0，＋∞)
试题解析 (2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．
(ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，
设φ(x)＝－2x2，因为φ(x)在[1，＋∞]上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.
(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)．

【提分秘籍】
基本规律
需要对单调性分增减讨论。

【变式演练】
1.已知函数，其中为常数．(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；
【答案】(Ⅱ)；．
试题解析：(Ⅱ)①当是增函数时， 在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立．在上是减函数，，
②当是减函数时，在上恒成立，即在上恒成立。设，则解得。的取值范围为
2、已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）若在上单调递减，等价于，利用二次函数求出最大值即得解；若在递增，等价于，二次函数没有最小值，此种情况无解. 综合即得解.
（2）利用韦达定理求出，，再求出，求出函数的最小值即得证.
（1）
解：，，若在上单调递减，则在上恒成立，故，，，
若在递增，则在恒成立，故，
没有最小值，此时不存在，
综上，的取值范围是，；
3.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）由于是（0，2）上的单调函数，所以在（0，2）上大于等于零或小于等于零，从而可求出a的取值范围；
（2）由函数f(x)在（0，2）上有零点，则，使，而，，从而可得在，上不单调，则在上至少有两个零点，则（1）可得当时，有可能有两个零点，从而可判断在上有两个零点，，且，，所以有，再结合解不等式组可得答案
解：（1），∴，∵在上单调，
∴或在上恒成立，即或在上恒成立，
∴或．


【题型十五】 存在单调增（减）区间
【典例分析】
已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2） ；
试题解析：（1），
垂直，，
（2）
设，则只须
的取值范围为


【提分秘籍】
基本规律
1.可一元二次根的分布
2.可参变分离求“存在”型最值
3.可转化为“有解”型分类讨论

【变式演练】
1.已知函数，其中a为实常数．
（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
【答案】（1）；
试题解析：（1）．若，即，则，从而f(x)在R上是减函数，不合题意，所以． 由，得，即，
所以f(x)的单调递增区间是．因为f(x)在上存在单调递增区间，
则，即，解得．故a的取值范围是．
2.已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（3）若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）求导，再根据曲线在点处的切线方程为求解；
（2）根据函数在区间上存在单调增区间，又在上有解求解；
（3）
（1）
解：因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，
所以切线斜率为1，即，，所以．
（2）因为函数在区间上存在单调增区间，
所以在上有解，
即只需在上的最大值大于0即可．令，
当时，为增函数，
当时，为减函数，
所以，当时，取最大值，故只需，即．
所以实数a的取值范围是．
3.已知函数，.
（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；
（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；
【详解】
（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，
令，，且当时，，
当时，，如图得到函数的大致图象，故当，
∴时，函数存在增区间；
【题型十六】 非单调函数求参
【典例分析】
已知函数，其中.
（1）如果曲线与轴相切，求的值；
（2）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.
【答案】（1）1（2）【分析】
（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出结果；
（2）先求出函数在上是单调函数的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可.
（1）求导得，曲线与轴相切，此切线的斜率为0.
由解得，又由曲线与轴相切，得解得.
（2）由题意可得，
当时，在上恒成立，函数单调递增，
当时，在上恒成立，函数单调递减，
在上恒成立，或在上恒成立，
在上恒成立，或在上恒成立，
令，由，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
或或
函数在区间上不是单调函数，，故的取值范围为.

【提分秘籍】
基本规律
1.可转化为“否命题”
2.可借助函数图像最值值域等来研究

【变式演练】
1.已知函数的导数为，函数.
（1）求；
（2）求最小正周期及单调递减区间；
（3）若，不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递减区间为，；（3）.
【分析】
(1)利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则直接计算即得；
(2)结合(1)的结论利用三角恒等变换化简，再借助正弦函数性质即可作答；
(3)根据给定条件求出的导数，在内求出及恒成立的a值范围即可得解.
【详解】
(1)依题意，；
(2)由(1)知，，
则的最小正周期为，
由，得：，，
所以的单调递减区间为，；
(3)由(2)知，，，
当时，，则，即，
当在上单调时，则对，或成立，
由，得：，，则，
由，得：，，则，
因此，当在上单调时，或，
于是得不是单调函数时，，
所以实数的取值范围是.
2.已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；
（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.
【详解】
（1）已知，，由可得，
又由,知在上单调递减，
令，记，则
在上单调递增；，在上单调递增；
，
（2），，在上不单调，
在上有正有负，在上有解，，，
恒成立，记，则，
记，，在上单调增，在上单调减.
于是知
（i）当即时，恒成立，在上单调增，，
，.
（ii）当时，，故不满足题意.
综上所述，
3.设函数，，
（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）根据题意，得到，再由函数单调性，即可得出结果；
（2）先由题意，得到定义域，再对函数求导，根据其不单调，得到的最小值为负，进而可得出结果；
（3）先令，对其求导，用导数的方法求出最大值，再结合题中条件，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，在上单调递增，
而函数可由平移后得到，函数单调递增，
所以只需，所以；
（2）易知函数的定义域为，而，
因为函数在定义城内不单调，
所以，只需的最小值为负，即，所以.

1.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意在上恒成立，令，求出函数的导函数，再由二次函数的性质，可得二次函数必有一正一负两个零点，设其中一个零点，则，再利用导数求出的范围，从而求出的取值范围；
解：因为定义域为，且.
①若，则，所以在上单调递减.
②若，令，得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
2.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的值．

【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）求得的定义域为，且，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）当时，得到，不合题意；当时，得到，根据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
解（1）：由题意，函数的定义域为，
则，
当时，对，，故在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在内的零点个数．

【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析；
（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
(1)确定函数的定义域并求导，再对a的取值进行分类讨论即可得函数的单调性.
(2)求出函数，借助导数求出的最大值，再对a的取值进行分类讨论即可确定零点个数.
（1）
函数的定义域为，求导得：，
当时，，在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
4.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】
（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负→函数的单调性；
（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a的取值范围
（1）
解：由题意，得函数的定义域为R，则，
当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
5.已知函数（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若，（）满足，求证：.

【答案】
（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导得，分类讨论参数可求的单调区间；
解（1）.
①当时，，由，得；由，得；
②当时，由，得或；由，得；
③当时，；
④当时，由，得或，由，得.
综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
6.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】
（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负→函数的单调性；
（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a的取值范围
（1）
解：由题意，得函数的定义域为R，则，
当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
7.设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）

【答案】（1）答案见解析（2）存在，的最小值为0
【分析】
（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.
（1）
因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
8.已知函数
（1）若，试求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．

【答案】
（1）
（2）答案见解析
【分析】
（1）求导得到导函数，计算，，得到切线方程.
（2）求导得到，考虑，，，四种情况，根据导数的正负得到函数的单调性.
（1）
，，，
，故切线方程为：.
（2）
，故，
当时，，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，得到，
当时，，当和时，，函数单调递增，当，时，，函数单调递减；
当时，， 恒成立，函数在R单调递增；
当时，，当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；
综上所述：
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减.
9.已知函数.（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.

【答案】（1）极大值，极小值（2）答案见解析
【分析】（1）当时，，求导，令可得极值点和极值；
（2），对分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．
（1）当时，，令得或.




0


+
0
-
0
+






∴时，有极大值，时，有极小值.
（2），∵，∴.
（1）当时，有，
当，，在上单调递增.
（2）当时，令，得.
①当，即，有，
从而函数在上单调递增.
②当，即时，
当，，单调递减；
当，，单调递增.
综上，时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
10.已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．

【答案】
（1）在单调递减，在单调递增.
（2）
【分析】
(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；
（1）
，，
①当时，，
在恒成立，，在单调递减，
②当时，令，则在恒成立，
在单调递增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在单调递增，
综上所述：在单调递减，在单调递增.
11.已知函数.
（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?

【答案】（1）答案见解析（2）存在，理由见解析.
【分析】
（1）先分别讨论，两段上的函数最值，再根据两段函数最值比较综合即可得答案；
（2）假设存在，则设（），则，进而根据将问题转化为有解问题，再分和讨论求解即可得答案.
（1）
解：当时，，，令，解得，此时在和上单调递减，在上单调递增，由于，故当时，；
当时，，，故当时，在区间上单调递减，；当时，在区间上单调递增，，当时，.
综上，当时，在上的最大值为，当时，在上的最大值为.
12.已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围；
（3）当时，证明：对任意恒成立.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义求得函数在处的切线斜率，可得关于的方程，从而可得结果；
（2）函数在区间上存在单调增区间，等价于在区间上有解，分离参数求出函数范围，即得结果；
（3）先利用，求出值，然后证明对任意的恒成立即可.
【详解】
（1）由得，
因为函数在处的切线方程为，
曲线在点处的切线斜率为，
解得；
（2）函数，，
因为函数在区间上存在单调增区间，所以在区间上有解，
即在区间上有解，因为在区间上递增，
所以，可得故；
13.设函数（）（是一个无理数）
（1）若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；
（2）设函数的两个极值点为和，记过点、的直线
的斜率为k，是否存在a， 使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a>2；（2）
【解析】试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
令g（x）=，其判别式△=a2 -4
1）当-2≤a≤2时，△≤0，，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
2）当a0，g（x）=0的两个根都小于零，故在（0，+∞）上，，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
3）当a>2时，△>0，g（x）=0的两个根都大于零，令，，x1x2=1
当0