专题10-3 概率小题基础-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

这是一份专题10-3 概率小题基础-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共31页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练24等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 古典概型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 几何概型1：长度角度型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 几何概型2：面积型4
\l "_Tc30563" 【题型四】 几何概型3：体积型6
\l "_Tc30563" 【题型五】 几何概型4：坐标系型9
\l "_Tc30563" 【题型六】 几何概型5：线性规划型11
\l "_Tc30563" 【题型七】 几何概型6：近似估值应用型14
\l "_Tc30563" 【题型八】 几何概型7：导数函数等16
\l "_Tc30563" 【题型九】 几何概型3：微积分型（理科）17
\l "_Tc30563" 【题型十】 圆锥曲线中的几何概型19
\l "_Tc30563" 【题型十一】 综合应用21
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练24
【题型一】 古典概型
【典例分析】
已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：由数据1，2，3，4，x（0λ2的是图中阴影部分，面积为32
所以，满足λ1>λ2的概率是
【方法二】
当λ1∈A,λ2∈[−1,0]时，此事件发生的概率为，此时必有λ1>λ2
当λ1∈A,λ2∈(0,1]时，此事件发生的概率为，此时λ1>λ2与λ1>λ2概率相等，各占，于是此时满足λ1>λ2的概率为.
以上两事件互斥，且[－1，0]与(0，1]的区间长度相等，故满足λ1>λ2的概率为12+14=34.
【题型十一】 综合应用
【典例分析】
中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，画出平面图像，通过计算得出五边形及阴影部分的面积，代入几何概型概率公式即可得解.
【详解】∵sin36°cs54°，∴2sin18°cs18°=4cs318°﹣3cs18°，化为：4sin218°+2sin18°﹣1 0，解得sin18°.
如图：
不妨设A2E2=1.
根据题意知，△B1A1E2∽△A1A2E2，∴.∴A1E2，
∴S2sin72°.
S2A2B1sin36°.
正五边形A1B1C1D1E1的面积S1，正五边形A2B2C2D2E2的面积为S3，
.
S4sin36°.S3=5sin72°，
∴在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率.
故选：C.
【变式演练】
1.如下图所示，阴影部分由六个全等的三角形组成，每个三角形是底边为圆的半径，顶角为的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则该点落到阴影部分内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设圆的半径为，求出阴影部分的面积和圆的面积，根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.
【详解】设圆的半径为，阴影部分的面积为，
圆的面积为，
则该点落到阴影部分的概率为，
故选：A.
2.如图，在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD中随机取一点，则点与，的距离都不小于2的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用几何概型的求法即得.
【详解】如图设圆弧交点为E，过E作EF⊥AB于F，
在△AEF中，AE=BE=2，，可求得∠EAF=，则
．
所以点与A，的距离都不小于2的概率为．故选：A．
3.在曲线上及其内部随机取一点，则该点取自圆上及其内部的概率为______．
【答案】
【分析】
根据题意，求出曲线表示图形的面积，以及单位圆的面积，面积比即为所求概率.
【详解】由得.
①当时，，表示以为圆心，以为半径的圆的一部分；
②当时，，表示以为圆心，以为半径的圆的一部分；
③当时，，表示以为圆心，以为半径的圆的一部分；
④当时，，表示以为圆心，以为半径的圆的一部分；
即由以上四部分组成；
在同一坐标系内画出与的图象如下：
由图象易得：
曲线表示的平面区域面积为，
单位圆的面积为，因此，所求的概率为.故答案为：.
1.已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】
利用弦长公式求得，利用点到直线的距离求得到直线的距离，由此求得三角形的面积，根据几何概型概率计算公式求得所求的概率.
【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为，故，点到直线的距离为，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选A.
2.（理）已知实数满足,则函数存在极值的概率为
A．B．C．D．

【答案】A
【详解】分析：首先分析三次函数无极值的条件，即为导数大于等于零恒成立，找出对应的范围，注意到题中所给的的范围，从而可以确定该题为几何概型，利用定积分求得阴影的面积，之后应用概率公式求得结果，注意此时我们所求的是无极值的概率，而题中要求的是有极值的概率，还需要做减法运算.
详解：函数的导数，
若函数无极值，则恒成立，
即，即，
作出不等式对应的平面区域如图所示：
则阴影部分的面积为，
则由几何概型的概率公式，
可得函数无极值的概率为，
所以函数有极值的概率为，故选A.
3.在面积为 1 的正方形中任意取一点 ，能使三角形，，，的面积
都大于的概率为
A．B．C．D．

【答案】C
【详解】由题意可知，当P点落在距离正方形各边距离为的小正方形内时，能使三角形，，，的面积都大于，根据几何概型概率公式知 ，故选C.
4.，表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：.若，则的概率为
A．B．C．D．

【答案】D
【分析】
本题考查与面积有关的几何概型问题，属中档题.
【详解】由，得函数f(x)的周期为T=2.函数f(x)的图像为如图所示的折线部分，集合对应的区域是如图所示的五个圆，半径都是.
由题得
事件对应的区域为图中的阴影部分，
所以由几何概型的公式得故选D.
5.在平面直角坐标系中，设，，向中随机投一点，则所投点在中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】区域D的面积为，区域E的面积为，所以所投点在中的概率，故选B.
6.将一颗骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为，设直线与平行的概率为，相交的概率为，则圆上到直线的距离为的点有
A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C
【详解】由直线与平行得
由直线与相交得
所以
因此圆心到直线的距离为
即圆上到直线的距离为的点有三个，选C.
7.在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为
A．B．C．D．

【答案】A
【详解】依题意得圆的圆心为，半径为.
要使直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得.
由几何概型的概率公式，得在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为.故选A.
8.在区间内任取一个数，使得不等式成立的概率为（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】
先求出在区间内的解集，再根据几何概型的概率公式求得答案.
【详解】因为，所以，
解得，.,
因为，所以，
所以的解集的区间长度为 ，
则所求概率，故选：C.
9.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】
先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.
【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x、y点，
则甲先到乙不需要等待须满足 ，乙先到甲不需要等待须满足，
作出不等式组 表示的可行域如图（阴影部分）：
10.由于2020年湖北省景区免费向外开放，某校高三3个毕业班决定组织学生们前去武汉参观“黄鹤楼公园”“武汉归元寺”“武汉博物馆”，若每个景区至少有一个班级参观，每个班级至少参观一处景区且最多参观一个景区，则甲班级不参观“武汉归元寺”的概率为（ ）
A．B．C．D．

【答案】D
【分析】
设“黄鹤楼公园”为A，“武汉归元寺”为B，“武汉博物馆”为C，运用列举法利用古典概率公式可求得答案.
【详解】解：设“黄鹤楼公园”为A，“武汉归元寺”为B，“武汉博物馆”为C，则三个班级依次参观的不同组合为，，，，，，则甲不参观“武汉归元寺”的概率为.故选：D.
11.萤石晶体常呈立方体、八面体或立方体的穿插双晶，集合体呈粒状或块状．如图是某萤石晶体的八面体结构，若各面均为边长为1的正三角形，为正方形，则在四边形内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】
根据给定条件探求出四边形的形状，并求出其面积，再求出点到点的距离大于1的区域面积，然后用几何概型计算作答.
【详解】依题意，正方形中，，而四边形为菱形，则，
于是得，则四边形为正方形，四边形的面积，
在四边形内点到点的距离大于1的点位于以为圆心，1为半径的个圆的外部，如图，
点P所在区域面积为，
所以点到点的距离大于1的概率为.故选：B
11.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________
上海市徐汇区2020-2021学年数学试题
【答案】
【分析】
通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.
【详解】所有三位数个数为900个.
“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,
从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.
故答案为:
12.若点集，设点集
现向区域M内任投一点，则点落在区域P内的概率为（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】
先分析集合所表示的区域，将，转化为，结合集合
，可得，作出集合所表示的区域，并计算出该区域的面积；对于集合所表示的区域，分析集合、表示的区域，把、代入，可得，分析可得集合所表示的区域形状与面积，根据几何概型的概率公式可计算出答案．
【详解】任取，，，得，
由于点，则，所以，，
所以，，表示的区域是以点，半径为的圆及其内部，其面积为；
，
集合所表示的区域是以、、、为顶点的正方形，
把、代入，可得，
集合所表示的区域是以集合的圆心在区域的边长移动，圆所覆盖的区域，区域的面积为，则向区域内任投一点，该点落在区域内的概率为，故选A．