精品解析：江苏省泰州市靖江高级中学2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题（解析版）

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2022~2023学年度第二学期期末考试高一数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）命题人：张  敏  夏长海  缪  鑫  刘祥云审题人：吴春胜  唐咸胜  韩  兵一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，，若，则（    ）A. 0 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量共线的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，，且，则，解得.故选：C2. 复数（为复数单位）的共轭复数是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】计算，再计算共轭复数得到答案.【详解】，则复数（为复数单位）的共轭复数是， 故选：A3. 采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据简单随机抽样每个个体被抽到的概率直接计算，即可得答案；【详解】简单随机抽样每个个体被抽到的概率，含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为，故选：D.【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，考查对概念的理解，属于基础题.4. 望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内.它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”.为测量望海楼的高度，可选取与楼底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得楼顶A的仰角为30°，则楼高约为（    ）米.    A. 30 B. 32 C. 34 D. 36【答案】B【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在求得即可.【详解】在中，由题意可得，由正弦定理可得，可得（米），又因为，所以（米）.故选：B.5. 若，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】由题意可得：.故选：A.6. 在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，做出其截面图，然后结合线面角的定义即可得到结果.【详解】  由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为，由条件可得，，,，则，,则，所以为等腰直角三角形，所以，即.故选：B.7. 已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（    ）A.  B.  C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得到，利用向量数量积公式得到，由求出答案.【详解】由正弦定理得，故，因为，所以，则，因为，所以，则，故.故选：C8. 在中，点在线段上，，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】和中，利用正弦定理结合，得，由倍角公式和两角和与差的正余弦公式化简求值.【详解】中，点在线段上，，，如图所示，则，，由正弦定理，中，，中，，由，则，即，得，.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据（    ）A. 极差为6 B. 平均数为5.25C. 30百分位数为3 D. 众数为6【答案】AC【解析】【分析】把数据从小到大排列，利用极差、平均数、百分位数和众数的定义判断各选项是否正确.【详解】数据2，6，8，2，3，4，6，8，从小到大排为2，2，3，4，6，6，8，8，极差为，A选项正确；平均数为，B选项错误；，30百分位数是第3个数据，所以30百分位数为3，C选项正确；众数为6和8，D选项错误.故选：AC10. 已知三个非零向量，，共面，则（    ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则存在实数，使【答案】ABD【解析】【分析】利用向量的传递性，平面向量数量积的定义，平面向量共线定理，对选项逐个判断，找出正确选项.【详解】对于选项A，，，根据向量的传递性得，故选项A正确；对于选项B，若，，因为它们为共面向量，则，故选项B正确；对于选项C，由得，因为，，是三个非零向量，所以得，无法推出，故选项C错误；对于选项D，因为，为非零向量，由平面向量共线定理可知，若，则存在唯一的实数，使，故选项D正确.故选：ABD.11. 已知事件发生的概率分别为，，则（    ）A. 若互斥，则至多有一个发生的概率为B. 若互斥，则至少有一个发生的概率为C. 若相互独立，则至多有一个发生的概率为D. 若相互独立，则至少有一个发生概率为【答案】BD【解析】【分析】利用互斥事件的加法公式，独立事件的乘法公式，结合对立事件可得答案.【详解】由题意，若互斥，则不能同时发生，即,所以至多有一个发生的概率为，A不正确；至少有一个发生的概率为，B正确；若相互独立，则同时发生的概率为；所以至多有一个发生的概率为，C不正确；至少有一个发生概率为，D正确.故选：BD.12. 已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（    ）A. 与始终保持垂直B. 的最小值为C. 经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为D. 以为球心，为半径的球面与平面的交线长为【答案】AC【解析】【分析】根据正方体的性质，截面形状，结合空间中的垂直关系，以及空间中线段和最值的求解方法进行求解.【详解】对于A，连接，由正方形的性质可得，由正方体的性质可得；又，所以平面，因为平面，所以；同理可得，因为，所以平面；因为平面，所以，A正确.  对于B，把沿展开到与共面，如图，则三点共线时，最小，且最小值为，在中，，由余弦定理可得，B不正确.  对于C，分别取的中点，连接，由正方体的性质可知四边形是菱形，且是过面积最小的截面.理由如下：过点作于，设，则；由直角三角形性质可得：；，；由可得，显然时，取到最小值，此时截面面积最小.最小面积为，C正确.  对于D，过点作于点，由平面，可得；又因为，所以平面，以为球心，为半径的球面被平面所截的圆面的圆心为，半径为，则，所以，即；以为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心的圆周，其长度为，D不正确.  故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ______.【答案】##【解析】【分析】利用和角公式可得答案.【详解】.故答案为：14. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．【答案】【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.15. 已知，，则满足的一个的值为______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据两角和的正切公式，将用进行表示，再将化简求得结果.【详解】，，又，，即，化简可得，，或，又，，故，，故满足题意，故答案为：（答案不唯一）.16. 已知的垂心为点，面积为15，且，则______；若，则______.【答案】    ①. 30    ②. 25【解析】【分析】利用向量的运算表示出，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出，对平方可求模长.【详解】如图，
     是的边上的高，则；设，因为，面积为15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因为，所以；故答案为：30   25.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为实数，复数，.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据复数的乘法结合纯虚数的定义列式求解；（2）根据复数的模长公式运算求解.【小问1详解】因为，若为纯虚数，则，解得.【小问2详解】若，则，可得，解得，所以的取值范围.18. 如图,在直三棱柱中,,为的中点,为的中点,.求证:  （1）∥平面;（2）.【答案】（1）答案见解析    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）连接,根据三角形的中位线可得,再根据线面平行的判定定理证明即可;（2）根据已知条件证明平面,从而得到,再根据线面垂直的判定定理证明平面,则四边形为菱形即可得到结论.【小问1详解】连接如图,  因为四边形为平行四边形,所以为的中点,又为的中点,所以在中,,因为平面,平面,所以∥平面.【小问2详解】因为,即,又,且,平面,平面,所以平面,因为,所以平面,因为平面,所以,又平面,平面,所以平面,因为平面,所以,则四边形为菱形,所以.19. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.（1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；（2）判断事件与是否相互独立，并证明.【答案】（1）不正确；理由见解析；    （2）事件与不相互独立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解，比较即可判断；（2）利用独立事件的判定方法进行判断.【小问1详解】两人摸出球的所有情况：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12种；事件包含的情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6种；事件包含的情况有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6种；所以，故小明的判断不正确.【小问2详解】事件包含的情况有：（1,2），（2,1），故；因为，；所以事件与不相互独立.20. 已知，.（1）若，试判断的形状，并证明；（2）设的中点为.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①；②；③的面积为.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.【答案】（1）是以为斜边的直角三角形，证明见详解    （2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，进而可得结果；（2）若选①②：根据，以及数量积的运算律，再结合余弦定理可得，代入面积公式运算求解即可；若选①③：根据面积可得，由余弦定理可得，结合，以及数量积的运算律运算求解；若选②③：根据面积可得，由，以及数量积的运算律可得，再利用余弦定理运算求解.【小问1详解】若，则，因为，则，所以是以为斜边的直角三角形.【小问2详解】由（1）可知，若选①②作条件：因为为的中点，则，可得，即，可得，由余弦定理可得，即，可得，则，解得，所以的面积为；若选①③作条件：因为的面积为，可得，由余弦定理可得，即，可得，因为为的中点，则，可得，即；若选②③作条件：因为的面积为，可得，因为为的中点，则，可得，即，可得，由余弦定理可得，即，整理得，且，所以.21. 如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）.  （1）若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；（2）若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先证明面面平行，利用面面平行的性质得到线线平行，进而得出的长度；（2）利用四棱锥的体积求出高，找到二面角的平面角，结合直角三角形的知识可得答案.【小问1详解】取的中点,连接,因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，，平面，所以平面平面；因为平面平面,平面平面,所以，即为的中点，所以.【小问2详解】由图1可知，等腰梯形的高为，所以四边形的面积为；因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于，因为三角形的高为，所以平面平面；取的中点,连接,由图1可知，均为等边三角形，所以,，且;因为,所以平面，因为平面，所以；由图1可知，所以是二面角的平面角，因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以为直角三角形；在中，，所以，即二面角为.  22. 在中，角的对边分别为，，，已知.（1）当时，求的值；（2）当时，求周长的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据题意借助于倍角公式整理得，再结合两角和差公式运算求解；（2）以内切圆为基础，设，进而可得，结合面积公式可得，结合三角恒等变换分析运算.【小问1详解】因，则，可得，又因为，则，所以，解得.【小问2详解】设的内切圆的圆心为，圆与边切于点，连接，设周长为，，可得，由（1）可知：，即，整理得，可得，根据等面积法可得，即，整理得，其中，当，即时，取到最大值，所以周长的最大值为.  【点睛】关键点睛：本题注意到，故借助于内切球的性质建立边角关系，进而运算求解.