精品解析：河南省信阳市信阳高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（解析版）

河南省信阳高级中学2022-2023学年高二下期06月月考

数学试题

命题人： 蔡金地 审题人： 李㵲

一、选择题（本題共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，，，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.

【详解】由知：，

当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

当，即或，

若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若，则，，满足要求.

综上，.

故选：A

2. 的实部与虚部之和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法化简，进而即得.

【详解】因为，

则的实部与虚部之和为为.

故选：B.

3. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（    ）

A. 36种 B. 18种 C. 24种 D. 30种

【答案】D

【解析】

分析】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，后分两种方法安排丙、丁.

第一种安排丙、丁到第三个舱中；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中.

【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有种安排方法.

后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有种方法.则不同的安排方案共有种.

故选：D

4. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.

【详解】解:由题知,

定义域为,解得,

所以,

故为奇函数,

排除A,B;

令

可得,即,

解得,

当时,,

,此时,

故选项D错误,选项C正确.

故选:C

5. 双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，结合双曲线的定义求得，再结合基本不等式和函数的单调性求得的最小值.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以，，

当在双曲线的左支时，，

所以，

当且仅当时等号成立.

当在双曲线的右支时，，

所以（其中），

对于函数，

，

任取，

，

由于，

所以，

所以在上递增，所以.

所以的最小值为.

综上所述，的最小值为.

故选：B

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，当时，单调递增，得到，设，当时，单调递增，得到，得到答案.

【详解】设，求导，所以当时，，单调递增，

故，即，所以；

设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故.

故选：C

7. 已知函数（其中为常数，），若实数、、满足：①；②；③，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，根据已知条件推出矛盾，可得出，求出的值，结合的取值范围可求得结果.

【详解】，

所以，

，

若、不全为零，

利用辅助角公式可得出，其中，

所以，函数的最小正周期为，

当且时，则，这与矛盾.

所以，，所以，，

所以，，

，因此，.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，解题的关键在于正确化简函数解析式，理解已知条件在解题中的应用，结合正弦型函数的周期推出，利用同角三角函数的基本关系进行求解.

8. 如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先用待定系数法求出圆M的方程，进而得到，数形结合得到当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大，利用点到直线距离公式得到，结合向量投影求出最值.

【详解】根据题意可得，解得，，故圆M的方程为．

，

画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大．

直线的斜率为1，设l的方程为，由圆心到直线l的距离为，

解得或（舍去）．

故l的方程为，其与直线PA：的交点坐标为，

所以，所以，

即的最大值为．

故选：C

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合 道目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）

9. 给出下列说法，其中正确的是（　　）

A. 若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一

B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6

C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等

D. 经验回归直线恒过样本点的中心（），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好

【答案】AC

【解析】

【分析】依据方差定义及众数定义去判断选项A；求得第40百分位数去判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；依据回归直线拟合效果判断标准去判断选项D.

【详解】对于选项A：由方差

可得，即此组数据众数唯一，A正确；

对于选项B：数据2，3，5，7，8，9，9，11.共有8个数，由可知，该组数据的第40百分位数为第4个数7，B错误；

对于选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，C正确；

对于选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是回归直线上的样本点多，拟合效果就越好，D错误.

故选：AC

10. 在三棱锥中，，，，分别是，，，的重心.则下列命题中正确的有（    ）

A. 平面 B.

C. 四条直线，，，相交于一点 D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】延长,交于中点，由分别是的重心，则有，故可解决选项中的平行、距离、面积等问题.

【详解】由于分别是的重心，所以分别延长,交于中点

因为，故.

平面，平面，因此平面，A选项正确；           

因为是的重心，所以 因此，B选项正确；

因为，有，则线段的交点分为，同理线段和线段的交点分为，因此四条直线 相交于一点，C选项正确.

因为，所以，因此，D选项错误.

故选：ABC.

11. 如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为的是（    ）

A.

B.

C. 轴，且

D. 四边形的内切圆过焦点，

【答案】ABD

【解析】

【分析】由椭圆方程依次写出顶点及焦点坐标，A选项直接计算即可判断；B选项由即可判断；C选项由即可判断；D选项由即可判断.

【详解】由题意知：，设椭圆离心率为，

对于A，，

即，同除整理得，解得，又，故，A正确；

对于B，，即，即，即，由上知，B正确；

对于C，轴，由，解得，故，，即，

即，解得，则，故离心率，C错误；

对于D，易得内切圆半径为斜边上的高，即，若内切圆过焦点，，则，

整理得，同除得，解得，又，则，

故，D正确.

故选：ABD.

12. 已知，，若直线与、图象交点的纵坐标分别为，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知可得，，依据每个选项的条件逐项计算可判断每个选项的正确性．

【详解】由题意得，，

，，，

对于A：，因为函数在上单调递增，

，故A正确；

，因为函数在上单调递增，

，故B正确；

由，，，，

，故C错误；

令，则，

当时，，在上单调递增，

因为，则，所以，

，，，故D正确．

故选：ABD．

第 II 卷 （非选择题）

三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）

13. 的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】写出的展开式的通项，再令的指数等于和，结合题意即可得解.

【详解】的展开式的通项为，

令，则，令，则（舍去），

所以的展开式中含项的系数为，

所以.

故答案为：.

14. 某病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选派时，两名主任医师都被选派的概率为________．

【答案】

【解析】

【分析】求出有一名主任医生被选派以及两名主任医师都被选派的概率，根据条件概率的计算公式即可求得答案.

【详解】记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A，

则，

记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B，

则．

故答案为：.

15. 已知等差数列{an}中， 将此等差数列各项排成如下三角形数阵：

则此数阵中第20行从左到右的第10个数是_________.

【答案】598

【解析】

【详解】等差数列{an}中，，

而第1行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数则第19行的最后一个数是数列的第1+2+…+19=190项，则此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第200项，∴=1+199×3=598
故答案为598

点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式，解题的关键是先根据等差数列中的两项求出数列的通项，然后弄清数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第几项，根据通项公式即求解.

16. 定义为与x距离最近的整数，令函数，如：，．则______；______．

【答案】    ① 3    ②. ##

【解析】

【分析】令，，则，即可得到，从而求出满足此不等式的正整数的个数，找到规律，从而计算可得；

详解】解：令，，则，

即，即，

所以，满足此不等式的正整数的个数有，

即，共有个数；

即时则有个，即，；

时则有个，即，，，；

时则有个，即，，，，，；

时则有个，即，，，，（其中，）

又，所以，，，，

其中共有个数；

所以；

故答案为：；

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知a､b､c分别为三内角A､B､C所对的边，且.

（1）求A；

（2）若，且，求c的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及和差的正弦公式化简即可求解；

（2）结合余弦定理与条件即可求解.

【小问1详解】

依题意，

因为，由正弦定理得：

，

由，

所以，

所以，

所以，

又因为，

所以，所以.

【小问2详解】

由（1）以及余弦定理变形式得：

即，

由，

解得或（舍去），

所以，.

18. 数列满足.

（1）求证：是等比数列；

（2）若，求的前项和为.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数的运算和等比数列的定义证明；

（2）利用分组求和以及错位相减法求和.

【小问1详解】

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.

【小问2详解】

由（1）可得，，所以，

设设其前项和为，

则①

②

减②得

所以

所以

19. 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【小问1详解】

因为平面ABC，平面ABC，所以，

又为等边三角形，D为AC的中点，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，所以.

在直角梯形中，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

【小问2详解】

由（1）知DB，DC，两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DB，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，

设平面的法向量为，

由得

所以平面的一个法向量为

设平面的法向量为，

因为，，

由得

所以平面的一个法向量为

设平面与平面夹角，则

，

由图象可得平面与平面夹角为锐角，

所以.

20. 某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价（单位：元）和上座率（上座人数与总座位数的比值）的数据，其中，并根据统计数据得到如下的散点图：

（1）由散点图判断与哪个模型能更好地对与的关系进行拟合（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求回归方程．

（2）根据（1）所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：，设，则，．

【答案】（1）能更好地对与的关系进行拟合，   

（2）220元

【解析】

【分析】（1）由散点图知，能更好地对与的关系进行拟合，设，由公式求出，再将代入求出，可得关于的线性回归方程，进而得出关于的回归方程；

（2）设函数，对函数求导，判断出单调性和极值，可预测剧场的门票收入最多时的票价．

【小问1详解】

由散点图知，散点趋向于递减的某条曲线附近，

所以能更好地对与的关系进行拟合．

设，先求关于的线性回归方程．

由已知得，

∴，

．

所以关于的线性回归方程为，

所以关于的回归方程为；

【小问2详解】

设剧场的总座位数为，由题意得门票收入为，

设函数，则，

当，即时，函数单调递减，

当，即时，函数单调递增，

所以在处取最大值，

所以剧场票价为220元时，剧场的门票收入最多．

21. 如图，点是圆：上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）直线过定点.

【解析】

【分析】（1）利用定义法求点的轨迹的方程；

（2）直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再根据得，即得解.

【小问1详解】

解：由题得,

所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆.

所以，

所以椭圆的方程为.

所以点的轨迹的方程为.

【小问2详解】

解：由题得点,设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程为得，

所以.

设，所以

所以直线方程为，

令得，同理,

因为，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，所以直线的方程为，

所以直线过定点.

22. 已知函数，.

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，令.

①证明：当时，；

②若数列满足，，证明：.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导函数，再讨论的符号即可计算作答.

(2)①等价变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性即可；

②由已知证明，由①分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可作答.

【小问1详解】

函数定义域为R，求导得，

当时，恒成立，即在上单调递增，

当时，令，解得，令，解得，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

当时，，

①当时，，

令，，恒成立，则在上单调递减，

，因此，成立，

所以当时，.

②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，

而，又，即，则，

由于，只需证，

又当时，，

令，，恒成立，则在上单调递增，，

则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，

因此成立，即成立，

所以原不等式得证.

【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.