备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）3-4-1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）（解析版）

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3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）
题组一 周期

1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项：，错误；B选项：，错误；
C选项：，正确；D选项：，错误.故选：C.
2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sincos　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
【答案】A
【解析】　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
3．（2022·江西景德镇）函数的最小正周期为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
其中函数的最小正周期为，函数的最小正周期为
所以函数的最小正周期为.故选：B.
4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数 的最小正周期为________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以函数的最小正周期；故答案为：
5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____.
【答案】2
【解析】由，又ω>0，故.故答案为：2.
6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；            (2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝sin，x∈R；   (4)y＝|cos x|，x∈R.
【答案】（1） ； （2） ； （3） ； （4）.
【解析】(1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.
(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.
(3)因为，
由周期函数的定义知，的周期为6π.
(4)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期：
（1）；   （2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），将各项同时除以，结合正切函数和角公式化简可得
，∴函数的周期是.
（2）由立方和公式及完全平方公式化简可得
.所以函数的周期是.
题组二 对称性

1．（2022·全国·单元测试）函数图象的对称中心的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，得，
故函数图象的对称中心的坐标为.故选:D.
2．（2022·安徽）“”是“函数的图象关于对称”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得，，
即函数的对称轴为，；
若，则，，能推出函数的图象关于对称；
若函数的图象关于对称，则，，即，；
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2021·青海西宁）已知函数的图象过点，则图象的一个对称中心为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，又，所以，则，
令，则，当时，，
即为图象的一个对称中心，可验证其他选项不正确.故选：C.
4．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线对称的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A.将代入，得函数值为，故不是的一条对称轴；
B.将代入，得函数值为，故不是的一条对称轴；
C.将代入，得函数值为，故不是的一条对称轴；
D.将代入，得函数值为1，故是的一条对称轴；故选：D.
5（2022·全国·单元测试）函数的图像（       ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】B
【解析】令,得,所以对称点为.
当,为,故B正确；令,则对称轴为,
因此直线和均不是函数的对称轴.故选B
6．（2022·河北省）关于有下列结论:
①函数的最小正周期为；                    ②表达式可改写成；
③函数的图象关于点对称；       ④函数的图象关于直线对称.
其中错误的结论是( )
A．①② B．①③ C．④ D．②③
【答案】C
【解析】结论①：周期，故本结论正确；
结论②：，故本结论正确；
结论③：因为，所以函数的图象关于点对称，故本结论正确；
结论④：由③的判断可知，函数函数的图象关于点对称，故本结论不正确，综上，本题选C.
7．（2021·北京市）最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的周期为：，故排除A.
将代入得：=1，此时取得最大值，
所以直线是函数一条对称轴．故选D.
8．（2022·江西·南昌十五中）若函数的图象与的图象都关于直线对称，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，即，
故的最小值为；故选：B.
题组三 奇偶性

1．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选项A: ，则为奇函数.排除；
选项B: ，则为偶函数.排除；
选项C: ，则为偶函数.排除；
选项D: 令，，
则，，则既不是奇函数也不是偶函数．可选.故选：D
2．（2022·全国·高二课时练习）函数是（       ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【答案】C
【解析】函数, 其最小正周期为 由，可得函数为奇函数.故选：C
3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A选项，的最小正周期是，且是奇函数，A正确.
B选项，的最小正周期是，且是奇函数，B错误.
C选项，的最小正周期为，且是奇函数，C错误.
D选项，的最小正周期是，且是偶函数，D错误.
故选：A
4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是的偶函数是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，为偶函数,且最小正周期为,所以A正确;
对于B，为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C，为奇函数，所以C错误;
对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误.综上可知,正确的为A故选:A
5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为的奇函数为（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于选项A，，则，且是奇函数，所以A选项正确；
对于选项B，，则，且是偶函数，所以B选项错误；
对于选项C，，则，且是奇函数，所以C选项错误；
对于选项D，，
则，且是非奇非偶函数，所以D选项错误.
故选：A.
6．（2022·新疆昌吉）已知函数，则下列关于函数的描述错误的是（       ）
A．奇函数 B．最小正周期为
C．其图象关于点对称 D．其图象关于直线对称
【答案】B
【解析】因为，所以，最小正周期为，故错误；
显然为奇函数，其图象关于点对称且关于直线对称，所以其它选项均正确；
故选：．
7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A：的定义域为，，所以是偶函数，图象不关于原点对称，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，，
所以是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B不正确；
对于C：的定义域为 关于原点对称，
，所以是偶函数，图象不关于原点对称，
故选项C不正确；
对于D：的定义域为，，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项D正确；
故选：D.
8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对A，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故A错误；
对B，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性；故B错误；
对C，函数的定义域为，且，故为奇函数，故C正确；
对D，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故D错误．
故选：C．
9．（2022·河南）“函数f(x)=sin2x+(a2-1)cosx为奇函数”是“a=1”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因函数是定义域为R的奇函数，则，f(x)+f(-x)=0，
于是得，而不恒为0，则有，解得，
因此，当a=1时，f(x)是奇函数，而f(x)是奇函数时，a可以为-1，
所以“函数f(x)=sin2x+(a2-1)cosx为奇函数”是“a=1”的必要不充分条件.故选：B
10．（2022·全国·专题练习）函数f（x）=是（       ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】由1+sinx≠0得sinx≠-1，所以
所以函数f（x）的定义域为，不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以f（x）是非奇非偶函数.
11．（2022·上海市）函数是（       ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】，
因为，所以为奇函数，周期，
所以此函数最小正周期为的奇函数，故选：A.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则“”是“为偶函数”的（       ）条件
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】当时，，
∵，∴为偶函数.
当为偶函数时，，，综上所述是为偶函数的充分不必要条件，故选：A.
13．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)=的奇偶性为（       ）
A．奇函数 B．既是奇函数也是偶函数 C．偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】D
【解析】由2sinx-1≥0，即sinx≥，得函数定义域为 (k∈Z)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．故选：D
14．（2022·全国·高三专题练习）函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（       ）
A．①② B．② C．③ D．②③
【答案】D
【解析】对于①，，周期为π，但不是奇函数；
对于②，周期为；
又故符合题意；
对于③，，
由②推导过程可知：周期是且为奇函数，符合题意.故选：D
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，且存在，使得，则的一个可能值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为奇函数，
则，可得，所以排除BD选项；
对于A，当时，，
当时，，，不合题意；
对于C，当时，，满足题意.故选：C.
16．（2022·全国·高三专题练习）使函数为偶函数的的一个值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
函数为偶函数，所以（为奇数），当时，=．故选：D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．则“是偶函数“是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，，所以为偶函数；若为偶函数，则，，不一定等于.
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.故选：B
18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为的偶函数为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A.，函数是奇函数，周期，故A不正确；
B.，函数是偶函数，周期，故B正确；
C. 函数，满足，是偶函数，但不是周期函数，，，即，所以函数的周期不是，故C不正确；
D.，函数是偶函数，函数的周期，故D不正确.
故选：B
19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
【答案】C
【解析】∵
，
∴为偶函数，故A错误；
既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
为偶函数，故C正确；
为奇函数，故D错误.
故选：C.
20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设，若函数的图象关于原点对称，则a的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为函数的图象关于原点对称，所以当时，，，
解得：，，因为，所以当时，的最大值.故选：D

题组四 单调性

1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，当时，，则在上不单调；
对于B选项，当时，，则在上单调递减；
对于C选项，当时，，则在上不单调；
对于D选项，当时，，则在上单调递增.故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】令，解得，
所以函数的单调递增区间为，，故选：C
3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】在上不单调，故A错误；为奇函数，故B错误；
图象如下图：

故最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，故C正确；
最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，则也是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.故选：CD
4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，令，解得，所以函数的单调递增区间为，当时可得函数的一个单调递增区间为，因为Ü，所以函数在上单调递增；
故选：D
5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以为最小正周期，其在上单调递减的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的最小正周期为，在上单调递减，符合题意，故A正确；
不是周期函数，故B错误；
中，，则，故中在时不是单调函数，故C错误；
，则，故中在时不是单调函数，故D错误，
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.故选：C.
7．（2022·山东·昌乐）若在区间上单调递增，则实数的最大值为__________.
【答案】
【解析】x∈，则，由题可知，，
则，则a的最大值为.故答案为：.

8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数的最小正周期为，其图象的一条对称轴为，则______.
【答案】
【解析】∵f(x)最小正周期为，∴；
∵f(x)图象的一条对称轴为，∴，
∴，，∴，，
∴.故答案为：.
9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为________．
【答案】，答案不唯一
【解析】，
当时，，
，所以在上单调递增，符合题意.
故答案为：，答案不唯一