备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）4-4 求和方法（精讲）（基础版）（解析版）

这是一份备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）4-4 求和方法（精讲）（基础版）（解析版），共14页。试卷主要包含了裂项相消，错位相减，分组求和，倒序相加等内容，欢迎下载使用。
4.4 求和方法（精讲）（基础版）考点一 裂项相消【例1】（2022·河南）已知正项数列的前项和为，且．(1)求的值和数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；；(2).【解析】(1)由得：；为正项数列，，；当时，；当时，；经检验：满足；.(2)由（1）得：，.【一隅三反】1．（2022·河北保定·一模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，故当时，，当时，，则，当时，满足上式，所以.(2)由（1）得，所以.故数列的前项和.2．（2022·江西鹰潭·一模）已知正项数列的首项，前n项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)当时，，∴，即，又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，又由（），当时，也适合，所以.(2)∵，∴，又∵对任意的，不等式恒成立，，∴，解得或.即所求实数的范围是或.3．（2022·重庆）数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，(2)或【解析】(1)解：当，，①，，②①－②得（*）在①中令，得，也满足（*），所以，，(2)解：由（1）知，，故，于是，因为随n的增大而增大，所以，解得或所以实数m的取值范围是或.考点二 错位相减【例2】（2022·陕西榆林·三模）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，，解得.当时，，整理得，所以是以9为首项，3为公比的等比数列，故.(2)由（1）知，，则①，所以②，①-②得：，故.【一隅三反】1．（2022·河南）已知在数列中，，，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意，可知当时，，故，当时，，故．综上所述，．(2)依题意，．故，，两式相减可得，化简可得．2．（2022·四川省内江市第六中学）已知数列的前项和为，满足，．(1)求证：数列为等比数列并求数列的通项公式；(2)设，求前项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】(1)，①，当时，②，①减去②得，，，可得数列是首项为1，公比为2的等比数列．．(2)，，①，②①减去②得，．3．（2022·江西·上饶市第一中学二模）在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)设等差数列的公差为，由，，得：，解得：数列的通项公式为：.(2)由（1）知：，所以①②①减去②得：，所以.考点三 分组求和【例3-1】（2022·甘肃兰州）在①，②是和的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，．(1)______，求数列的通项公式；(2)若数列，，求数列的前n项和．【答案】(1)答案见详解；(2)【解析】(1)选①：由于，所以，又，所以，故所以；选②：是和的等比中项，则，所以，又，解得，（舍去）所以；(2)，，则【例3-2】（2022·福建三明·模拟预测）设数列的前项和为，，，．(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：对任意的，，当时，则有，解得，当时，由可得，上述两个等式作差得，所以，，则，所以，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为.(2)解：由（1）可知，所以，，所以，.【一隅三反】1．（2022·四川攀枝花）在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【解析】(1)设正项等比数列的公比为，选①，由，得，∴，又，∴，解得或（舍去），∴；选②，是，的等差中项，∴，又，∴，即，∴，∴；选③，，当时，，∴或（舍去），∴，当时，，故数列的通项公式为；(2)∵，∴，∴，∴.2．（2022·重庆·二模）设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项的和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)由，①，得：当时，,解得或（负值舍去），当时，②，得：，所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.所以.因为数列满足，，.所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.所以.(2)因为，所以，所以.3．（2022·陕西宝鸡·三模）已知数列中，，且．记﹒(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析；(2)﹒【解析】(1)∵，且，∴是以2为首项，2为公比的等比数列；(2)由(1)知，，则，令的前项和为，则. 考点四 倒序相加【例4】（2021·全国·高三专题练习）已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（       ）.A．25 B．26 C．13 D．【答案】C【解析】，，即，设，①则，②则①＋②得：，故.故选：C.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（       ）A． B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【解析】等比数列满足即2020故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，______．【答案】【解析】由数列是正项等比数列，且，可得，因为，可设，又，两式相加可得，所以．故答案为：．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，________.【答案】【解析】，，令，①，②①②得：，，即．故答案为：.