备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）6-4 计数原理及排列组合（精讲）（基础版）（解析版）

这是一份备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）6-4 计数原理及排列组合（精讲）（基础版）（解析版），共12页。试卷主要包含了排队问题，排数问题，分组分配，涂色等内容，欢迎下载使用。
6.4 计数原理及排列组合（精讲）（基础版）考点一 排队问题【例1】（2022·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，女生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．（3）方法一（特殊元素优先法）   先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法）   左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．（4）方法一   分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二   7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．【一隅三反】1．（2022·河北·藁城新冀明中学）有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？(1)女生甲排在正中间；(2)名女生不相邻；(3)女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；(4)名女生中间恰有名男生．【答案】(1)种；(2)种；(3)种；(4)种.【解析】(1)女生甲排在正中间，其余人有种排法，因此不同排法种数为种；(2)将名男生排成一排，有种排法，2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有种排法，因此不同排法种数为种；(3)对7名学生全排列有种排法，因此不同排法种数为种；(4)选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有种，又因为2名女生有种排法，因此不同排法种数为种.2．（2022·全国·高三专题练习）某种产品的加工需要经过道工序．(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）【答案】(1)96(2)48(3)72【解析】(1)先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；(2)先排A，B这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；(3)先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.3．（2022·全国·高三专题练习）现有8个人男3女）站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，则甲、乙两人不相邻有种排法；(5)根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法；(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，将男生、女生整体全排列，有种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则第3和第6个排男生，有种不同排法；(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法；(10)根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法.考点二 排数问题【例2】（2022·江苏）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?【答案】（1）36个（2）36个（2）49个【解析】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个；（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个.【一隅三反】1．（2022·吉林）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）576；（2）576；（3）144【解析】（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个． （2）五位数中，偶数排在一起的有＝576个． （3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．2．（2022·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有种，其余4个数全排列有种，按照分步乘法计数原理可得有个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有种情况，即可以有120个五位数；则可以有个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有种情况，则有个比40000大的正整数；3．（2021·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五个数字:(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有种情况，所以可组成个五位数.(2)用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位数.(3)无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有种情况;若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有种情况.所以根据分类计数原理，共可组成 个无重复数字的且是3的倍数的三位数.(4)由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有种情况，再对剩下的三个数字全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位奇数.考点三 分组分配【例3】（2022·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5位同学各自随机从“趵突腾空”、“ 历山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，则三个推荐词都有人选的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】5位同学任意选取1个景点的方法数为，三个推荐词都有人选，可以先把5人分成三组，然后每组选一个，方法数为，所以所求概率为．故选：A．2．（2022·河北·邢台市南和区第一中学）某研究机构采访了“—带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为高铁，移动支付，网购，共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前4的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．若将这12个关键词平均分成3组，且各组都包含“新四大发明”关键词．则不同的分法种数为（       ）A．1680 B．3360 C．6720 D．10080【答案】B【解析】先将4个“新四大发明”分成1，1，2三组，有种不同的分法，再将余下的8个分成3，3，2三组，有种不同的分法，最后配成三组，所以共有种不同的分法．故选：B.3．（2022·河北省曲阳县第一高级中学）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（       ）A．72 B．84 C．90 D．96【答案】B【解析】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B 考点四 涂色【例4】（2022·浙江·）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（       ）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法，①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法；②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法.综上，涂色方法总数为故选：D【举一反三】1．（2022·山东烟台）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A：“区域1和区域3颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】A事件有 个基本事件，B事件有 个基本事件， ；故选：B.2．（2022·河北·藁城新冀明中学）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（       ）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种【答案】D【解析】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．故不同的涂色方法共有756种．故选：D3（2022·广东广州）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（       ）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【答案】B【解析】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B.